Страница 74 номер 8.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(D(f) = \mathbf{R}\); \(f'(x) = e^{\frac{x}{2}} + x \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} = \frac{e^{\frac{x}{2}}(x + 2)}{2}\).
Здесь \(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} > 0\), поэтому знак \(f'(x)\) — знак двучлена \(x + 2\): \(f'(x) > 0\) при \(x > -2\), \(f'(x) < 0\) при \(x < -2\). Функция возрастает на \([-2;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -2]\), \(x_{\min} = -2\).
2) \(D(f) = \mathbf{R}\).
\[\begin{aligned} &f'(x) = e^{x^{4} - 2x^{2}} \cdot \left(x^{4} - 2x^{2}\right)' = {} \\ &= e^{x^{4} - 2x^{2}}\left(4x^{3} - 4x\right) = 4xe^{x^{4} - 2x^{2}}(x - 1)(x + 1). \end{aligned}\]
Здесь \(e^{x^{4} - 2x^{2}} > 0\), поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = -1\), \(x = 0\) и \(x = 1\), а знак \(f'(x)\) — знак произведения \(4x(x - 1)(x + 1)\). Пробные точки: при \(x = -2\) получаем \(4 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = -24 < 0\); при \(x = -\frac{1}{2}\) получаем \(4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\); при \(x = \frac{1}{2}\) получаем \(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} < 0\); при \(x = 2\) получаем \(4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 24 > 0\).
Функция возрастает на \([-1;\ 0]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \([0;\ 1]\), \(x_{\max} = 0\), \(x_{\min} = -1\), \(x_{\min} = 1\).
3) \(D(f) = \mathbf{R}\).
\[\begin{aligned} &f'(x) = 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5 \cdot \left(-x^{3} + 3x + 1\right)' = {} \\ &= 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5 \cdot \left(3 - 3x^{2}\right) = {} \\ &= 3 \cdot 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5 \cdot (1 - x)(1 + x). \end{aligned}\]
Здесь \(3 \cdot 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5 > 0\), поэтому знак \(f'(x)\) — знак произведения \((1 - x)(1 + x)\). Пробные точки: при \(x = -2\) получаем \(3 \cdot (-1) < 0\); при \(x = 0\) получаем \(1 \cdot 1 > 0\); при \(x = 2\) получаем \((-1) \cdot 3 < 0\).
Функция возрастает на \([-1;\ 1]\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = -1\).
4) \(D(f) = \mathbf{R}\); \(f'(x) = 4e^{2x} + (4x - 1) \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(8x + 2) = 2e^{2x}(4x + 1)\).
Здесь \(2e^{2x} > 0\), поэтому знак \(f'(x)\) — знак двучлена \(4x + 1\): \(f'(x) > 0\) при \(x > -\frac{1}{4}\), \(f'(x) < 0\) при \(x < -\frac{1}{4}\). Функция возрастает на \(\left[-\frac{1}{4};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{4}\right]\), \(x_{\min} = -\frac{1}{4}\).
5) \(D(f) = \mathbf{R}\).
\[f'(x) = 3x^{2} \cdot 3^{-x} + x^{3} \cdot 3^{-x}\ln 3 \cdot (-1) = 3^{-x}x^{2}(3 - x\ln 3).\]
Здесь \(3^{-x} > 0\), а множитель \(x^{2}\) неотрицателен и обращается в нуль только при \(x = 0\), поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 0\) и при \(x = \frac{3}{\ln 3}\). Пробные точки: при \(x = -1\) получаем \(3^{1} \cdot 1 \cdot (3 + \ln 3) > 0\); при \(x = \frac{1}{\ln 3}\) множитель \(3 - x\ln 3\) равен \(3 - 1 = 2 > 0\), поэтому \(f'(x) > 0\); при \(x = \frac{6}{\ln 3}\) этот множитель равен \(3 - 6 = -3 < 0\), поэтому \(f'(x) < 0\).
При переходе через нуль знак производной не меняется, поэтому точка 0 точкой экстремума не является. Функция возрастает на \(\left(-\infty;\ \frac{3}{\ln 3}\right]\), убывает на \(\left[\frac{3}{\ln 3};\ +\infty\right)\), \(x_{\max} = \frac{3}{\ln 3}\).
6) \(D(f) = \mathbf{R}\).
\[f'(x) = \frac{e^{x} - (x + 3)e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = \frac{e^{x}(-x - 2)}{e^{2x}} = \frac{-x - 2}{e^{x}}.\]
Знаменатель положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(x < -2\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > -2\). Функция возрастает на \((-\infty;\ -2]\), убывает на \([-2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = -2\).
7) \(D(f) = (0;\ +\infty)\); \(f'(x) = x - \frac{1}{x} = \frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x}\).
На области определения дробь \(\frac{x + 1}{x}\) положительна, поэтому знак \(f'(x)\) — знак двучлена \(x - 1\): \(f'(x) < 0\) при \(0 < x < 1\), \(f'(x) > 0\) при \(x > 1\). Функция возрастает на \([1;\ +\infty)\), убывает на \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\).
8) \(D(f) = (0;\ +\infty)\); \(f'(x) = \ln^{2} x + x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \ln^{2} x + 2\ln x = \ln x(\ln x + 2)\).
\(f'(x) = 0\), если \(\ln x = 0\) или \(\ln x = -2\), то есть при \(x = 1\) и при \(x = \frac{1}{e^{2}}\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{e^{3}}\) получаем \((-3) \cdot (-1) = 3 > 0\); при \(x = \frac{1}{e}\) получаем \((-1) \cdot 1 = -1 < 0\); при \(x = e\) получаем \(1 \cdot 3 = 3 > 0\).
Функция возрастает на \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ 1\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = 1\).
9) \(D(f) = (0;\ +\infty)\); \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}\).
Знаменатель положителен, поэтому \(f'(x) > 0\), если \(\ln x < 1\), то есть при \(0 < x < e\); при \(x > e\) получаем \(f'(x) < 0\). Функция возрастает на \((0;\ e]\), убывает на \([e;\ +\infty)\), \(x_{\max} = e\).
10) Область определения: \(x^{2} > 0\) и \(x \ne 0\), то есть \(x \ne 0\); это объединение промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).
\[f'(x) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 2x - \frac{2}{x^{2}} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{2}} = \frac{2(x - 1)}{x^{2}}.\]
Знаменатель на области определения положителен, поэтому знак \(f'(x)\) — знак двучлена \(x - 1\). Пробные точки: при \(x = -1\) получаем \(2 \cdot (-2) < 0\); при \(x = \frac{1}{2}\) получаем \(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) < 0\); при \(x = 2\) получаем \(2 \cdot 1 > 0\).
Точка 0 в область определения не входит, поэтому промежуток убывания распадается на два: функция возрастает на \([1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\).
11) \(D(f) = (0;\ +\infty)\).
\[f'(x) = 3\ln^{2} x \cdot \frac{1}{x} - \frac{12}{x} = \frac{3\left(\ln^{2} x - 4\right)}{x} = \frac{3(\ln x - 2)(\ln x + 2)}{x}.\]
\(f'(x) = 0\), если \(\ln x = 2\) или \(\ln x = -2\), то есть при \(x = e^{2}\) и при \(x = \frac{1}{e^{2}}\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{e^{3}}\) произведение \((\ln x - 2)(\ln x + 2)\) равно \((-5) \cdot (-1) = 5 > 0\); при \(x = 1\) оно равно \((-2) \cdot 2 = -4 < 0\); при \(x = e^{3}\) оно равно \(1 \cdot 5 = 5 > 0\). Знаменатель положителен, поэтому знак \(f'(x)\) такой же.
Функция возрастает на \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \(\left[e^{2};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ e^{2}\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = e^{2}\).
12) \(D(f) = (0;\ +\infty)\).
\[\begin{aligned} &f'(x) = 4\lg^{3} x \cdot \frac{1}{x\ln 10} - 4\lg x \cdot \frac{1}{x\ln 10} = {} \\ &= \frac{4\lg x\left(\lg^{2} x - 1\right)}{x\ln 10} = \frac{4\lg x(\lg x - 1)(\lg x + 1)}{x\ln 10}. \end{aligned}\]
\(f'(x) = 0\), если \(\lg x = 0\), \(\lg x = 1\) или \(\lg x = -1\), то есть при \(x = 1\), \(x = 10\) и \(x = \frac{1}{10}\). Знаменатель \(x\ln 10\) положителен, поэтому знак \(f'(x)\) — знак произведения \(4\lg x(\lg x - 1)(\lg x + 1)\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{100}\) получаем \(4 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = -24 < 0\); при \(x = \frac{1}{\sqrt{10}}\) получаем \(4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\); при \(x = \sqrt{10}\) получаем \(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} < 0\); при \(x = 100\) получаем \(4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 24 > 0\).
Функция возрастает на \(\left[\frac{1}{10};\ 1\right]\) и \([10;\ +\infty)\), убывает на \(\left(0;\ \frac{1}{10}\right]\) и \([1;\ 10]\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = \frac{1}{10}\), \(x_{\min} = 10\).
Ответ: 1) возрастает на \([-2;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -2]\), \(x_{\min} = -2\); 2) возрастает на \([-1;\ 0]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \([0;\ 1]\), \(x_{\max} = 0\), \(x_{\min} = -1\), \(x_{\min} = 1\); 3) возрастает на \([-1;\ 1]\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = -1\); 4) возрастает на \(\left[-\frac{1}{4};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{4}\right]\), \(x_{\min} = -\frac{1}{4}\); 5) возрастает на \(\left(-\infty;\ \frac{3}{\ln 3}\right]\), убывает на \(\left[\frac{3}{\ln 3};\ +\infty\right)\), \(x_{\max} = \frac{3}{\ln 3}\); 6) возрастает на \((-\infty;\ -2]\), убывает на \([-2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = -2\); 7) возрастает на \([1;\ +\infty)\), убывает на \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\); 8) возрастает на \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ 1\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = 1\); 9) возрастает на \((0;\ e]\), убывает на \([e;\ +\infty)\), \(x_{\max} = e\); 10) возрастает на \([1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\); 11) возрастает на \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \(\left[e^{2};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ e^{2}\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = e^{2}\); 12) возрастает на \(\left[\frac{1}{10};\ 1\right]\) и \([10;\ +\infty)\), убывает на \(\left(0;\ \frac{1}{10}\right]\) и \([1;\ 10]\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = \frac{1}{10}\), \(x_{\min} = 10\).
1) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = e^{\frac{x}{2}} + x \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} = \frac{e^{\frac{x}{2}}(x + 2)}{2}\).
Множитель \(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}\) положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(x + 2\): \(f'(x) > 0\) при \(x > -2\) и \(f'(x) < 0\) при \(x < -2\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([-2;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((-\infty;\ -2]\), \(x_{\min} = -2\).
2) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \[\begin{aligned} &f'(x) = e^{x^{4} - 2x^{2}} \cdot \left(x^{4} - 2x^{2}\right)' = {} \\ &= e^{x^{4} - 2x^{2}}\left(4x^{3} - 4x\right) = 4xe^{x^{4} - 2x^{2}}(x - 1)(x + 1). \end{aligned}\]
Множитель \(e^{x^{4} - 2x^{2}}\) положителен, поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = -1\), \(x = 0\) и \(x = 1\), а знак производной совпадает со знаком произведения \(4x(x - 1)(x + 1)\). Пробные точки: при \(x = -2\) получаем \(4 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = -24 < 0\); при \(x = -\frac{1}{2}\) получаем \(4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\); при \(x = \frac{1}{2}\) получаем \(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} < 0\); при \(x = 2\) получаем \(4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 24 > 0\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутках \([-1;\ 0]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на промежутках \((-\infty;\ -1]\) и \([0;\ 1]\), \(x_{\max} = 0\), \(x_{\min} = -1\), \(x_{\min} = 1\).
3) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \[\begin{aligned} &f'(x) = 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5 \cdot \left(-x^{3} + 3x + 1\right)' = {} \\ &= 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5 \cdot \left(3 - 3x^{2}\right) = {} \\ &= 3 \cdot 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5 \cdot (1 - x)(1 + x). \end{aligned}\]
Множитель \(3 \cdot 5^{-x^{3} + 3x + 1}\ln 5\) положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \((1 - x)(1 + x)\). Пробные точки: при \(x = -2\) получаем \(3 \cdot (-1) < 0\); при \(x = 0\) получаем \(1 \cdot 1 > 0\); при \(x = 2\) получаем \((-1) \cdot 3 < 0\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([-1;\ 1]\), убывает на промежутках \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = -1\).
4) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = 4e^{2x} + (4x - 1) \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(8x + 2) = 2e^{2x}(4x + 1)\).
Множитель \(2e^{2x}\) положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(4x + 1\): \(f'(x) > 0\) при \(x > -\frac{1}{4}\) и \(f'(x) < 0\) при \(x < -\frac{1}{4}\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left[-\frac{1}{4};\ +\infty\right)\), убывает на промежутке \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{4}\right]\), \(x_{\min} = -\frac{1}{4}\).
5) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[f'(x) = 3x^{2} \cdot 3^{-x} + x^{3} \cdot 3^{-x}\ln 3 \cdot (-1) = 3^{-x}x^{2}(3 - x\ln 3).\]
Множитель \(3^{-x}\) положителен, множитель \(x^{2}\) неотрицателен и обращается в нуль только при \(x = 0\). Значит, \(f'(x) = 0\) при \(x = 0\) и при \(x = \frac{3}{\ln 3}\). Пробные точки: при \(x = -1\) получаем \(3^{1} \cdot 1 \cdot (3 + \ln 3) > 0\); при \(x = \frac{1}{\ln 3}\) множитель \(3 - x\ln 3\) равен \(3 - 1 = 2 > 0\), поэтому \(f'(x) > 0\); при \(x = \frac{6}{\ln 3}\) этот множитель равен \(3 - 6 = -3 < 0\), поэтому \(f'(x) < 0\).
При переходе через нуль знак производной не меняется, поэтому точка 0 точкой экстремума не является. Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{3}{\ln 3}\right]\), убывает на промежутке \(\left[\frac{3}{\ln 3};\ +\infty\right)\), \(x_{\max} = \frac{3}{\ln 3}\).
6) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Применяя теорему о производной частного, получаем: \[f'(x) = \frac{e^{x} - (x + 3)e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = \frac{e^{x}(-x - 2)}{e^{2x}} = \frac{-x - 2}{e^{x}}.\]
Знаменатель положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(x < -2\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > -2\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ -2]\), убывает на промежутке \([-2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = -2\).
7) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \(f'(x) = x - \frac{1}{x} = \frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x}\).
На области определения дробь \(\frac{x + 1}{x}\) положительна, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(x - 1\): \(f'(x) < 0\) при \(0 < x < 1\) и \(f'(x) > 0\) при \(x > 1\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\).
8) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = \ln^{2} x + x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \ln^{2} x + 2\ln x = \ln x(\ln x + 2)\).
Тогда \(f'(x) = 0\), если \(\ln x = 0\) или \(\ln x = -2\), то есть при \(x = 1\) и при \(x = \frac{1}{e^{2}}\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{e^{3}}\) получаем \((-3) \cdot (-1) = 3 > 0\); при \(x = \frac{1}{e}\) получаем \((-1) \cdot 1 = -1 < 0\); при \(x = e\) получаем \(1 \cdot 3 = 3 > 0\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутках \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на промежутке \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ 1\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = 1\).
9) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Применяя теорему о производной частного, получаем: \(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}\).
Знаменатель положителен, поэтому \(f'(x) > 0\), если \(\ln x < 1\), то есть при \(0 < x < e\); при \(x > e\) получаем \(f'(x) < 0\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((0;\ e]\), убывает на промежутке \([e;\ +\infty)\), \(x_{\max} = e\).
10) Область определения задаётся условиями \(x^{2} > 0\) и \(x \ne 0\), то есть \(x \ne 0\): она является объединением промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). Имеем: \[f'(x) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 2x - \frac{2}{x^{2}} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{2}} = \frac{2(x - 1)}{x^{2}}.\]
Знаменатель положителен на области определения, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(x - 1\). Пробные точки: при \(x = -1\) получаем \(2 \cdot (-2) < 0\); при \(x = \frac{1}{2}\) получаем \(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) < 0\); при \(x = 2\) получаем \(2 \cdot 1 > 0\).
Точка 0 области определения не принадлежит, поэтому промежуток убывания распадается на два. Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\), убывает на промежутках \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\).
11) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \[f'(x) = 3\ln^{2} x \cdot \frac{1}{x} - \frac{12}{x} = \frac{3\left(\ln^{2} x - 4\right)}{x} = \frac{3(\ln x - 2)(\ln x + 2)}{x}.\]
Тогда \(f'(x) = 0\), если \(\ln x = 2\) или \(\ln x = -2\), то есть при \(x = e^{2}\) и при \(x = \frac{1}{e^{2}}\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{e^{3}}\) произведение \((\ln x - 2)(\ln x + 2)\) равно \((-5) \cdot (-1) = 5 > 0\); при \(x = 1\) оно равно \((-2) \cdot 2 = -4 < 0\); при \(x = e^{3}\) оно равно \(1 \cdot 5 = 5 > 0\). Знаменатель положителен, поэтому знак производной такой же.
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутках \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \(\left[e^{2};\ +\infty\right)\), убывает на промежутке \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ e^{2}\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = e^{2}\).
12) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \[\begin{aligned} &f'(x) = 4\lg^{3} x \cdot \frac{1}{x\ln 10} - 4\lg x \cdot \frac{1}{x\ln 10} = {} \\ &= \frac{4\lg x\left(\lg^{2} x - 1\right)}{x\ln 10} = \frac{4\lg x(\lg x - 1)(\lg x + 1)}{x\ln 10}. \end{aligned}\]
Тогда \(f'(x) = 0\), если \(\lg x = 0\), \(\lg x = 1\) или \(\lg x = -1\), то есть при \(x = 1\), \(x = 10\) и \(x = \frac{1}{10}\). Знаменатель \(x\ln 10\) положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком произведения \(4\lg x(\lg x - 1)(\lg x + 1)\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{100}\) получаем \(4 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = -24 < 0\); при \(x = \frac{1}{\sqrt{10}}\) получаем \(4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\); при \(x = \sqrt{10}\) получаем \(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} < 0\); при \(x = 100\) получаем \(4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 24 > 0\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутках \(\left[\frac{1}{10};\ 1\right]\) и \([10;\ +\infty)\), убывает на промежутках \(\left(0;\ \frac{1}{10}\right]\) и \([1;\ 10]\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = \frac{1}{10}\), \(x_{\min} = 10\).
Ответ: 1) возрастает на \([-2;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -2]\), \(x_{\min} = -2\); 2) возрастает на \([-1;\ 0]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \([0;\ 1]\), \(x_{\max} = 0\), \(x_{\min} = -1\), \(x_{\min} = 1\); 3) возрастает на \([-1;\ 1]\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = -1\); 4) возрастает на \(\left[-\frac{1}{4};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{4}\right]\), \(x_{\min} = -\frac{1}{4}\); 5) возрастает на \(\left(-\infty;\ \frac{3}{\ln 3}\right]\), убывает на \(\left[\frac{3}{\ln 3};\ +\infty\right)\), \(x_{\max} = \frac{3}{\ln 3}\); 6) возрастает на \((-\infty;\ -2]\), убывает на \([-2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = -2\); 7) возрастает на \([1;\ +\infty)\), убывает на \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\); 8) возрастает на \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ 1\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = 1\); 9) возрастает на \((0;\ e]\), убывает на \([e;\ +\infty)\), \(x_{\max} = e\); 10) возрастает на \([1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\); 11) возрастает на \(\left(0;\ \frac{1}{e^{2}}\right]\) и \(\left[e^{2};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left[\frac{1}{e^{2}};\ e^{2}\right]\), \(x_{\max} = \frac{1}{e^{2}}\), \(x_{\min} = e^{2}\); 12) возрастает на \(\left[\frac{1}{10};\ 1\right]\) и \([10;\ +\infty)\), убывает на \(\left(0;\ \frac{1}{10}\right]\) и \([1;\ 10]\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = \frac{1}{10}\), \(x_{\min} = 10\).
