Страница 74 номер 8.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Исследуйте функцию и постройте её график: 1) \(f(x) = xe^{x}\); 2) \(f(x) = xe^{-\frac{x}{2}}\); 3) \(f(x) = e^{-x^2}\); 4) \(f(x) = x^2 - 2\ln x\); 5) \(f(x) = \ln(9 - x^2)\).
1) \(D(f) = \mathbf{R}\).
Здесь \(e^{x} > 0\), поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) функция отрицательна, при \(x > 0\) — положительна.
\(f'(x) = e^{x} + xe^{x} = e^{x}(x + 1)\), значит, \(f'(x) > 0\) при \(x > -1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x < -1\): функция возрастает на \([-1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -1]\), \(x_{\min} = -1\), \(f(-1) = -\frac{1}{e}\).
Наименьшее значение равно \(-\frac{1}{e}\), поэтому область значений — \(\left[-\frac{1}{e};\ +\infty\right)\). При неограниченном убывании \(x\) значения функции сколь угодно близки к нулю и отрицательны: слева график прижимается к оси абсцисс снизу; при неограниченном возрастании \(x\) они неограниченно возрастают.
2) \(D(f) = \mathbf{R}\).
Здесь \(e^{-\frac{x}{2}} > 0\), поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) функция отрицательна, при \(x > 0\) — положительна.
\(f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} - \frac{1}{2}xe^{-\frac{x}{2}} = \frac{e^{-\frac{x}{2}}(2 - x)}{2}\), значит, \(f'(x) > 0\) при \(x < 2\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 2\): функция возрастает на \((-\infty;\ 2]\), убывает на \([2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 2\), \(f(2) = \frac{2}{e}\).
Наибольшее значение равно \(\frac{2}{e}\), поэтому область значений — \(\left(-\infty;\ \frac{2}{e}\right]\). При неограниченном возрастании \(x\) значения функции сколь угодно близки к нулю и положительны: справа график прижимается к оси абсцисс сверху; при неограниченном убывании \(x\) они неограниченно убывают.
3) \(D(f) = \mathbf{R}\).
Значения показательной функции положительны, поэтому \(f(x) > 0\) при всех \(x\) и нулей у функции нет. Так как \(f(-x) = e^{-(-x)^{2}} = e^{-x^{2}} = f(x)\), функция чётная и её график симметричен относительно оси ординат.
\(f'(x) = e^{-x^{2}} \cdot \left(-x^{2}\right)' = -2xe^{-x^{2}}\), значит, \(f'(x) > 0\) при \(x < 0\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 0\): функция возрастает на \((-\infty;\ 0]\), убывает на \([0;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 0\), \(f(0) = 1\).
Наибольшее значение равно 1, поэтому область значений — \((0;\ 1]\). При неограниченном возрастании модуля \(x\) показатель \(-x^{2}\) неограниченно убывает, и значения функции сколь угодно близки к нулю, оставаясь положительными: с обеих сторон график прижимается к оси абсцисс сверху.
4) Область определения: \(x > 0\), то есть \(D(f) = (0;\ +\infty)\).
\(f'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2\left(x^{2} - 1\right)}{x} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}\); на области определения дробь \(\frac{2(x + 1)}{x}\) положительна, поэтому \(f'(x) < 0\) при \(0 < x < 1\) и \(f'(x) > 0\) при \(x > 1\): функция убывает на \((0;\ 1]\), возрастает на \([1;\ +\infty)\), \(x_{\min} = 1\), \(f(1) = 1\).
Наименьшее значение равно 1, поэтому область значений — \([1;\ +\infty)\); нулей у функции нет, весь график лежит выше оси абсцисс. При значениях \(x\), близких к нулю справа, выражение \(-2\ln x\) принимает сколь угодно большие значения — график уходит вверх вдоль оси ординат; при неограниченном возрастании \(x\) значения функции неограниченно возрастают.
5) Область определения: \(9 - x^{2} > 0\), откуда \(-3 < x < 3\), то есть \(D(f) = (-3;\ 3)\).
Нули функции: \(9 - x^{2} = 1\); \(x^{2} = 8\); \(x = -2\sqrt{2}\) или \(x = 2\sqrt{2}\). Логарифм положителен, когда \(9 - x^{2} > 1\), то есть при \(-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}\); на промежутках \(\left(-3;\ -2\sqrt{2}\right)\) и \(\left(2\sqrt{2};\ 3\right)\) значения функции отрицательны.
Так как \(f(-x) = \ln\left(9 - (-x)^{2}\right) = \ln\left(9 - x^{2}\right) = f(x)\), функция чётная и её график симметричен относительно оси ординат.
\(f'(x) = \frac{1}{9 - x^{2}} \cdot \left(9 - x^{2}\right)' = \frac{-2x}{9 - x^{2}}\); знаменатель на области определения положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(-3 < x < 0\) и \(f'(x) < 0\) при \(0 < x < 3\): функция возрастает на \((-3;\ 0]\), убывает на \([0;\ 3)\), \(x_{\max} = 0\), \(f(0) = \ln 9\).
Наибольшее значение равно \(\ln 9\), поэтому область значений — \((-\infty;\ \ln 9]\). При значениях \(x\), близких к \(-3\) справа и к 3 слева, выражение \(9 - x^{2}\) становится сколь угодно малым положительным числом, а логарифм принимает сколь угодно большие по модулю отрицательные значения: прямые \(x = -3\) и \(x = 3\) — вертикальные асимптоты.
Исследуйте функцию и постройте её график: 1) \(f(x) = xe^{x}\); 2) \(f(x) = xe^{-\frac{x}{2}}\); 3) \(f(x) = e^{-x^2}\); 4) \(f(x) = x^2 - 2\ln x\); 5) \(f(x) = \ln(9 - x^2)\).
1) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Множитель \(e^{x}\) положителен, поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) значения функции отрицательны, при \(x > 0\) — положительны.
Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = e^{x} + xe^{x} = e^{x}(x + 1)\). Значит, \(f'(x) > 0\) при \(x > -1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x < -1\): функция возрастает на промежутке \([-1;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((-\infty;\ -1]\), \(x_{\min} = -1\), \(f(-1) = -\frac{1}{e}\).
Наименьшее значение функции равно \(-\frac{1}{e}\), поэтому область значений — промежуток \(\left[-\frac{1}{e};\ +\infty\right)\). При неограниченном убывании \(x\) значения функции становятся сколь угодно близкими к нулю, оставаясь отрицательными: слева график прижимается к оси абсцисс снизу. При неограниченном возрастании \(x\) значения функции неограниченно возрастают.
2) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Множитель \(e^{-\frac{x}{2}}\) положителен, поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) значения функции отрицательны, при \(x > 0\) — положительны.
Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} - \frac{1}{2}xe^{-\frac{x}{2}} = \frac{e^{-\frac{x}{2}}(2 - x)}{2}\). Значит, \(f'(x) > 0\) при \(x < 2\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 2\): функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 2]\), убывает на промежутке \([2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 2\), \(f(2) = \frac{2}{e}\).
Наибольшее значение функции равно \(\frac{2}{e}\), поэтому область значений — промежуток \(\left(-\infty;\ \frac{2}{e}\right]\). При неограниченном возрастании \(x\) значения функции становятся сколь угодно близкими к нулю, оставаясь положительными: справа график прижимается к оси абсцисс сверху. При неограниченном убывании \(x\) значения функции неограниченно убывают.
3) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Значения показательной функции положительны, поэтому \(f(x) > 0\) при всех \(x\) и нулей у функции нет. Так как \(f(-x) = e^{-(-x)^{2}} = e^{-x^{2}} = f(x)\), функция чётная и её график симметричен относительно оси ординат.
Имеем: \(f'(x) = e^{-x^{2}} \cdot \left(-x^{2}\right)' = -2xe^{-x^{2}}\). Значит, \(f'(x) > 0\) при \(x < 0\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 0\): функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 0\), \(f(0) = 1\).
Наибольшее значение функции равно 1, поэтому область значений — промежуток \((0;\ 1]\). При неограниченном возрастании модуля \(x\) показатель \(-x^{2}\) неограниченно убывает и значения функции становятся сколь угодно близкими к нулю, оставаясь положительными: с обеих сторон график прижимается к оси абсцисс сверху.
4) Область определения функции задаётся условием \(x > 0\), то есть \(D(f) = (0;\ +\infty)\).
Имеем: \(f'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2\left(x^{2} - 1\right)}{x} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}\). На области определения дробь \(\frac{2(x + 1)}{x}\) положительна, поэтому \(f'(x) < 0\) при \(0 < x < 1\) и \(f'(x) > 0\) при \(x > 1\): функция убывает на промежутке \((0;\ 1]\), возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\), \(x_{\min} = 1\), \(f(1) = 1\).
Наименьшее значение функции равно 1, поэтому область значений — промежуток \([1;\ +\infty)\), нулей у функции нет и весь график лежит выше оси абсцисс. При значениях \(x\), близких к нулю справа, выражение \(-2\ln x\) принимает сколь угодно большие значения — график уходит вверх вдоль оси ординат. При неограниченном возрастании \(x\) значения функции неограниченно возрастают.
5) Область определения функции задаётся условием \(9 - x^{2} > 0\), откуда \(-3 < x < 3\), то есть \(D(f) = (-3;\ 3)\).
Нули функции находим из уравнения \(9 - x^{2} = 1\): \(x^{2} = 8\); \(x = -2\sqrt{2}\) или \(x = 2\sqrt{2}\). Логарифм положителен, когда \(9 - x^{2} > 1\), то есть при \(-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}\); на промежутках \(\left(-3;\ -2\sqrt{2}\right)\) и \(\left(2\sqrt{2};\ 3\right)\) значения функции отрицательны.
Так как \(f(-x) = \ln\left(9 - (-x)^{2}\right) = \ln\left(9 - x^{2}\right) = f(x)\), функция чётная и её график симметричен относительно оси ординат.
Имеем: \(f'(x) = \frac{1}{9 - x^{2}} \cdot \left(9 - x^{2}\right)' = \frac{-2x}{9 - x^{2}}\). Знаменатель на области определения положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(-3 < x < 0\) и \(f'(x) < 0\) при \(0 < x < 3\): функция возрастает на промежутке \((-3;\ 0]\), убывает на промежутке \([0;\ 3)\), \(x_{\max} = 0\), \(f(0) = \ln 9\).
Наибольшее значение функции равно \(\ln 9\), поэтому область значений — промежуток \((-\infty;\ \ln 9]\). При значениях \(x\), близких к \(-3\) справа и к 3 слева, выражение \(9 - x^{2}\) становится сколь угодно малым положительным числом, а логарифм принимает сколь угодно большие по модулю отрицательные значения: прямые \(x = -3\) и \(x = 3\) — вертикальные асимптоты.
