Страница 64 номер 7.9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее целое решение неравенства: 1) \(\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > -\frac{3}{2}\); 2) \(\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > 2\); 3) \(\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > -1\); 4) \(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)\).
1) \(-\frac{3}{2} = \log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = \log_{\frac{1}{4}} 8\), поэтому \(\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > \log_{\frac{1}{4}} 8\). Основание \(\frac{1}{4} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x + 1 < 8, \\ x + 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 7, \\ x > -1; \end{cases} \quad -1 < x < 7.\]
Наибольшее целое число промежутка — 6.
2) \(2 = \log_{\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}\right)^{2} = \log_{\sqrt{3}} 3\), поэтому \(\log_{\sqrt{3}}(12 - x^{2}) > \log_{\sqrt{3}} 3\). Основание \(\sqrt{3} > 1\): \(12 - x^{2} > 3\); \(x^{2} < 9\), то есть \(-3 < x < 3\).
Наибольшее целое число промежутка — 2.
3) \(-1 = \log_{\frac{1}{7}}\left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{7}} 7\), поэтому \(\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > \log_{\frac{1}{7}} 7\). Основание \(\frac{1}{7} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 3 - x < 7, \\ 3 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -4, \\ x < 3; \end{cases} \quad -4 < x < 3.\]
Наибольшее целое число промежутка — 2.
4) Основание \(\frac{1}{3} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 2x - 5 < x + 1, \\ 2x - 5 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 6, \\ x > \frac{5}{2}; \end{cases} \quad \frac{5}{2} < x < 6.\]
Наибольшее целое число промежутка — 5.
Ответ: 1) 6; 2) 2; 3) 2; 4) 5.
Найдите наибольшее целое решение неравенства: 1) \(\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > -\frac{3}{2}\); 2) \(\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > 2\); 3) \(\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > -1\); 4) \(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)\).
1) Так как \(-\frac{3}{2} = \log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = \log_{\frac{1}{4}} 8\), имеем: \(\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > \log_{\frac{1}{4}} 8\). Основание \(\frac{1}{4}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 < 8, \\ x + 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 7, \\ x > -1; \end{cases} \quad -1 < x < 7.\]
Наибольшее целое число этого промежутка — 6.
2) Так как \(2 = \log_{\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}\right)^{2} = \log_{\sqrt{3}} 3\), имеем: \(\log_{\sqrt{3}}(12 - x^{2}) > \log_{\sqrt{3}} 3\). Основание \(\sqrt{3}\) больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(12 - x^{2} > 3\); отсюда \(x^{2} < 9\), то есть \(-3 < x < 3\).
Наибольшее целое число этого промежутка — 2.
3) Так как \(-1 = \log_{\frac{1}{7}}\left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{7}} 7\), имеем: \(\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > \log_{\frac{1}{7}} 7\). Основание \(\frac{1}{7}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 3 - x < 7, \\ 3 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -4, \\ x < 3; \end{cases} \quad -4 < x < 3.\]
Наибольшее целое число этого промежутка — 2.
4) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x - 5 < x + 1, \\ 2x - 5 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 6, \\ x > \frac{5}{2}; \end{cases} \quad \frac{5}{2} < x < 6.\]
Наибольшее целое число этого промежутка — 5.
Ответ: 1) 6; 2) 2; 3) 2; 4) 5.
