Страница 65 номер 7.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(1 = \log_{8} 8\), поэтому \(\log_{8}(x^{2} - 4x + 3) \leqslant \log_{8} 8\). Основание \(8 > 1\): \[\begin{cases} x^{2} - 4x + 3 \leqslant 8, \\ x^{2} - 4x + 3 > 0. \end{cases}\]
Первое: \(x^{2} - 4x - 5 \leqslant 0\); \((x + 1)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(-1 \leqslant x \leqslant 5\). Второе: \((x - 1)(x - 3) > 0\), откуда \(x < 1\) или \(x > 3\). Пересекая промежутки, получаем \(-1 \leqslant x < 1\) или \(3 < x \leqslant 5\).
2) \(-1 = \log_{0{,}5}\left(0{,}5\right)^{-1} = \log_{0{,}5} 2\), поэтому \(\log_{0{,}5}(x^{2} + x) > \log_{0{,}5} 2\). Основание \(0{,}5 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x^{2} + x < 2, \\ x^{2} + x > 0. \end{cases}\]
Первое: \(x^{2} + x - 2 < 0\); \((x + 2)(x - 1) < 0\), откуда \(-2 < x < 1\). Второе: \(x(x + 1) > 0\), откуда \(x < -1\) или \(x > 0\). Пересекая промежутки, получаем \(-2 < x < -1\) или \(0 < x < 1\).
3) \(0 = \log_{0{,}7} 1\), а \(x^{2} + 10x + 25 = (x + 5)^{2}\), поэтому \(\log_{0{,}7}(x + 5)^{2} > \log_{0{,}7} 1\). Основание \(0{,}7 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} (x + 5)^{2} < 1, \\ (x + 5)^{2} > 0. \end{cases}\]
Из первого \(|x + 5| < 1\), то есть \(-6 < x < -4\); второе означает, что \(x \ne -5\). Значит, \(-6 < x < -5\) или \(-5 < x < -4\).
4) \(2 = \log_{2} 2^{2} = \log_{2} 4\), поэтому \(\log_{2}(x^{2} - 3x) \leqslant \log_{2} 4\). Основание \(2 > 1\): \[\begin{cases} x^{2} - 3x \leqslant 4, \\ x^{2} - 3x > 0. \end{cases}\]
Первое: \(x^{2} - 3x - 4 \leqslant 0\); \((x + 1)(x - 4) \leqslant 0\), откуда \(-1 \leqslant x \leqslant 4\). Второе: \(x(x - 3) > 0\), откуда \(x < 0\) или \(x > 3\). Пересекая промежутки, получаем \(-1 \leqslant x < 0\) или \(3 < x \leqslant 4\).
5) \(0 = \log_{2} 1\), поэтому \(\log_{2}\frac{4x - 5}{4x + 7} > \log_{2} 1\). Основание \(2 > 1\), а меньшее выражение — число 1, оно положительно, поэтому \(\frac{4x - 5}{4x + 7} > 1\): \[\frac{4x - 5}{4x + 7} - 1 > 0; \quad \frac{4x - 5 - 4x - 7}{4x + 7} > 0; \quad \frac{-12}{4x + 7} > 0.\]
Числитель отрицателен, поэтому дробь положительна только при \(4x + 7 < 0\), то есть при \(x < -\frac{7}{4}\).
6) \(0 = \lg 1\), поэтому \(\lg\frac{x^{2} - 1}{(x - 2)^{2}} > \lg 1\). Основание десятичного логарифма \(10 > 1\), а меньшее выражение — число 1, оно положительно, поэтому \(\frac{x^{2} - 1}{(x - 2)^{2}} > 1\): \[\begin{aligned} &\frac{x^{2} - 1}{(x - 2)^{2}} - 1 > 0; \quad \frac{x^{2} - 1 - (x - 2)^{2}}{(x - 2)^{2}} > 0; \\ &\frac{4x - 5}{(x - 2)^{2}} > 0. \end{aligned}\]
Знаменатель положителен при всех \(x \ne 2\), поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда \(4x - 5 > 0\) и \(x \ne 2\). Значит, \(\frac{5}{4} < x < 2\) или \(x > 2\).
7) \(1 = \log_{3} 3\), поэтому \(\log_{3}\frac{2x + 5}{x + 1} \leqslant \log_{3} 3\). Основание \(3 > 1\): \[\begin{cases} \frac{2x + 5}{x + 1} \leqslant 3, \\ \frac{2x + 5}{x + 1} > 0. \end{cases}\]
Первое: \[\frac{2x + 5}{x + 1} - 3 \leqslant 0; \quad \frac{2x + 5 - 3(x + 1)}{x + 1} \leqslant 0; \quad \frac{2 - x}{x + 1} \leqslant 0; \quad \frac{x - 2}{x + 1} \geqslant 0,\]
и методом интервалов получаем \(x < -1\) или \(x \geqslant 2\). Второе равносильно неравенству \((2x + 5)(x + 1) > 0\), откуда \(x < -2{,}5\) или \(x > -1\). Пересекая промежутки, получаем \(x < -2{,}5\) или \(x \geqslant 2\).
8) \(0{,}5 = \log_{4} 4^{0{,}5} = \log_{4} 2\), поэтому \(\log_{4}\frac{3x - 1}{x} \leqslant \log_{4} 2\). Основание \(4 > 1\): \[\begin{cases} \frac{3x - 1}{x} \leqslant 2, \\ \frac{3x - 1}{x} > 0. \end{cases}\]
Первое: \[\frac{3x - 1}{x} - 2 \leqslant 0; \quad \frac{3x - 1 - 2x}{x} \leqslant 0; \quad \frac{x - 1}{x} \leqslant 0,\]
и методом интервалов получаем \(0 < x \leqslant 1\). Второе равносильно неравенству \(x(3x - 1) > 0\), откуда \(x < 0\) или \(x > \frac{1}{3}\). Пересекая промежутки, получаем \(\frac{1}{3} < x \leqslant 1\).
Ответ: 1) \([-1;\ 1) \cup (3;\ 5]\); 2) \((-2;\ -1) \cup (0;\ 1)\); 3) \((-6;\ -5) \cup (-5;\ -4)\); 4) \([-1;\ 0) \cup (3;\ 4]\); 5) \(\left(-\infty;\ -\frac{7}{4}\right)\); 6) \(\left(\frac{5}{4};\ 2\right) \cup (2;\ +\infty)\); 7) \((-\infty;\ -2{,}5) \cup [2;\ +\infty)\); 8) \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right]\).
1) Так как \(1 = \log_{8} 8\), имеем: \(\log_{8}(x^{2} - 4x + 3) \leqslant \log_{8} 8\). Основание 8 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 4x + 3 \leqslant 8, \\ x^{2} - 4x + 3 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} - 4x - 5 \leqslant 0\); \((x + 1)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(-1 \leqslant x \leqslant 5\). Второе неравенство: \((x - 1)(x - 3) > 0\), откуда \(x < 1\) или \(x > 3\). Пересекая промежутки, получаем \(-1 \leqslant x < 1\) или \(3 < x \leqslant 5\).
2) Так как \(-1 = \log_{0{,}5}\left(0{,}5\right)^{-1} = \log_{0{,}5} 2\), имеем: \(\log_{0{,}5}(x^{2} + x) > \log_{0{,}5} 2\). Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + x < 2, \\ x^{2} + x > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} + x - 2 < 0\); \((x + 2)(x - 1) < 0\), откуда \(-2 < x < 1\). Второе неравенство: \(x(x + 1) > 0\), откуда \(x < -1\) или \(x > 0\). Пересекая промежутки, получаем \(-2 < x < -1\) или \(0 < x < 1\).
3) Так как \(0 = \log_{0{,}7} 1\) и \(x^{2} + 10x + 25 = (x + 5)^{2}\), имеем: \(\log_{0{,}7}(x + 5)^{2} > \log_{0{,}7} 1\). Основание \(0{,}7\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x + 5)^{2} < 1, \\ (x + 5)^{2} > 0. \end{cases}\]
Из первого неравенства \(|x + 5| < 1\), то есть \(-6 < x < -4\). Второе неравенство означает, что \(x \ne -5\). Значит, \(-6 < x < -5\) или \(-5 < x < -4\).
4) Так как \(2 = \log_{2} 2^{2} = \log_{2} 4\), имеем: \(\log_{2}(x^{2} - 3x) \leqslant \log_{2} 4\). Основание 2 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 3x \leqslant 4, \\ x^{2} - 3x > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} - 3x - 4 \leqslant 0\); \((x + 1)(x - 4) \leqslant 0\), откуда \(-1 \leqslant x \leqslant 4\). Второе неравенство: \(x(x - 3) > 0\), откуда \(x < 0\) или \(x > 3\). Пересекая промежутки, получаем \(-1 \leqslant x < 0\) или \(3 < x \leqslant 4\).
5) Так как \(0 = \log_{2} 1\), имеем: \(\log_{2}\frac{4x - 5}{4x + 7} > \log_{2} 1\). Основание 2 больше единицы, а меньшее выражение — число 1, оно положительно, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(\frac{4x - 5}{4x + 7} > 1\). Отсюда \[\frac{4x - 5}{4x + 7} - 1 > 0; \quad \frac{4x - 5 - 4x - 7}{4x + 7} > 0; \quad \frac{-12}{4x + 7} > 0.\]
Числитель дроби отрицателен, поэтому дробь положительна только при \(4x + 7 < 0\), то есть при \(x < -\frac{7}{4}\).
6) Так как \(0 = \lg 1\), имеем: \(\lg\frac{x^{2} - 1}{(x - 2)^{2}} > \lg 1\). Основание десятичного логарифма — число 10, оно больше единицы, а меньшее выражение — число 1, оно положительно, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(\frac{x^{2} - 1}{(x - 2)^{2}} > 1\). Отсюда \[\begin{aligned} &\frac{x^{2} - 1}{(x - 2)^{2}} - 1 > 0; \quad \frac{x^{2} - 1 - (x - 2)^{2}}{(x - 2)^{2}} > 0; \\ &\frac{4x - 5}{(x - 2)^{2}} > 0. \end{aligned}\]
Знаменатель положителен при всех \(x \ne 2\), поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда \(4x - 5 > 0\) и \(x \ne 2\). Значит, \(\frac{5}{4} < x < 2\) или \(x > 2\).
7) Так как \(1 = \log_{3} 3\), имеем: \(\log_{3}\frac{2x + 5}{x + 1} \leqslant \log_{3} 3\). Основание 3 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \frac{2x + 5}{x + 1} \leqslant 3, \\ \frac{2x + 5}{x + 1} > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \[\frac{2x + 5}{x + 1} - 3 \leqslant 0; \quad \frac{2x + 5 - 3(x + 1)}{x + 1} \leqslant 0; \quad \frac{2 - x}{x + 1} \leqslant 0; \quad \frac{x - 2}{x + 1} \geqslant 0.\]
Методом интервалов получаем \(x < -1\) или \(x \geqslant 2\). Второе неравенство системы равносильно неравенству \((2x + 5)(x + 1) > 0\), откуда \(x < -2{,}5\) или \(x > -1\). Пересекая промежутки, получаем \(x < -2{,}5\) или \(x \geqslant 2\).
8) Так как \(0{,}5 = \log_{4} 4^{0{,}5} = \log_{4} 2\), имеем: \(\log_{4}\frac{3x - 1}{x} \leqslant \log_{4} 2\). Основание 4 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \frac{3x - 1}{x} \leqslant 2, \\ \frac{3x - 1}{x} > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \[\frac{3x - 1}{x} - 2 \leqslant 0; \quad \frac{3x - 1 - 2x}{x} \leqslant 0; \quad \frac{x - 1}{x} \leqslant 0.\]
Методом интервалов получаем \(0 < x \leqslant 1\). Второе неравенство системы равносильно неравенству \(x(3x - 1) > 0\), откуда \(x < 0\) или \(x > \frac{1}{3}\). Пересекая промежутки, получаем \(\frac{1}{3} < x \leqslant 1\).
Ответ: 1) \([-1;\ 1) \cup (3;\ 5]\); 2) \((-2;\ -1) \cup (0;\ 1)\); 3) \((-6;\ -5) \cup (-5;\ -4)\); 4) \([-1;\ 0) \cup (3;\ 4]\); 5) \(\left(-\infty;\ -\frac{7}{4}\right)\); 6) \(\left(\frac{5}{4};\ 2\right) \cup (2;\ +\infty)\); 7) \((-\infty;\ -2{,}5) \cup [2;\ +\infty)\); 8) \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right]\).
