Страница 66 номер 7.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{1{,}6} \log_{0{,}5}(x^2 - x - 6) \ge 0\); 2) \(\log_{0{,}5} \log_{4}(2x^2 + x - 1) < 1\); 3) \(\log_{\frac{1}{9}} \log_{3} \frac{x}{x - 1} \ge 0\); 4) \(\log_{1{,}5} \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} \le 0\).
1) Так как \(0 = \log_{1{,}6} 1\), неравенство принимает вид \(\log_{1{,}6} \log_{0{,}5}(x^2 - x - 6) \geqslant \log_{1{,}6} 1\). Основание \(1{,}6\) больше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(\log_{0{,}5}(x^2 - x - 6) \geqslant 1\) (число 1 положительно, так что отдельного условия положительности внутреннего логарифма не возникает).
Так как \(1 = \log_{0{,}5} 0{,}5\), а основание \(0{,}5\) меньше единицы, получаем систему \[\begin{cases} x^2 - x - 6 \leqslant 0{,}5, \\ x^2 - x - 6 > 0. \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 - x - 6{,}5 \leqslant 0, \\ (x + 2)(x - 3) > 0. \end{cases}\]
Дискриминант трёхчлена \(x^2 - x - 6{,}5\) равен \(1 + 26 = 27\), его корни — числа \(\frac{1 - \sqrt{27}}{2}\) и \(\frac{1 + \sqrt{27}}{2}\), поэтому первое неравенство даёт \(\frac{1 - \sqrt{27}}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1 + \sqrt{27}}{2}\), а второе — \(x < -2\) или \(x > 3\).
Так как \(27 > 25\), то \(\sqrt{27} > 5\), а потому \(\frac{1 - \sqrt{27}}{2} < -2\) и \(\frac{1 + \sqrt{27}}{2} > 3\). Пересечение: \[\left[\begin{array}{l} \frac{1 - \sqrt{27}}{2} \leqslant x < -2, \\ 3 < x \leqslant \frac{1 + \sqrt{27}}{2}. \end{array}\right.\]
2) Так как \(1 = \log_{0{,}5} 0{,}5\), неравенство принимает вид \(\log_{0{,}5} \log_{4}(2x^2 + x - 1) < \log_{0{,}5} 0{,}5\). Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(\log_{4}(2x^2 + x - 1) > 0{,}5\). Здесь же содержится условие существования внешнего логарифма: его аргумент больше \(0{,}5\), а значит, положителен.
Так как \(0{,}5 = \log_{4} 2\), а основание 4 больше единицы, то \(2x^2 + x - 1 > 2\). Отсюда \(2x^2 + x - 3 > 0\); \((2x + 3)(x - 1) > 0\); \[\left[\begin{array}{l} x < -\frac{3}{2}, \\ x > 1. \end{array}\right.\]
3) Так как \(0 = \log_{\frac{1}{9}} 1\), неравенство принимает вид \(\log_{\frac{1}{9}} \log_{3} \frac{x}{x - 1} \geqslant \log_{\frac{1}{9}} 1\). Основание \(\frac{1}{9}\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{3} \frac{x}{x - 1} \leqslant 1, \\ \log_{3} \frac{x}{x - 1} > 0. \end{cases}\]
Так как \(1 = \log_{3} 3\), \(0 = \log_{3} 1\), а основание 3 больше единицы, эта система равносильна такой: \[\begin{cases} \frac{x}{x - 1} \leqslant 3, \\ \frac{x}{x - 1} > 1. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(\frac{x}{x - 1} - 3 \leqslant 0\); \(\frac{-2x + 3}{x - 1} \leqslant 0\); \(\frac{2x - 3}{x - 1} \geqslant 0\); отсюда \(x < 1\) или \(x \geqslant 1{,}5\).
Второе неравенство: \(\frac{x}{x - 1} - 1 > 0\); \(\frac{1}{x - 1} > 0\); отсюда \(x > 1\).
Пересечение — промежуток \([1{,}5;\ +\infty)\).
4) Так как \(0 = \log_{1{,}5} 1\), неравенство принимает вид \(\log_{1{,}5} \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} \leqslant \log_{1{,}5} 1\). Основание \(1{,}5\) больше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} \leqslant 1, \\ \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} > 0. \end{cases}\]
Основание 3 больше единицы, а \(1 = \log_{3} 3\) и \(0 = \log_{3} 1\), поэтому эта система равносильна такой: \[\begin{cases} \frac{3x - 5}{x + 1} \leqslant 3, \\ \frac{3x - 5}{x + 1} > 1. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(\frac{3x - 5}{x + 1} - 3 \leqslant 0\); \(\frac{-8}{x + 1} \leqslant 0\); отсюда \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\).
Второе неравенство: \(\frac{3x - 5}{x + 1} - 1 > 0\); \(\frac{2x - 6}{x + 1} > 0\); отсюда \(x < -1\) или \(x > 3\).
Пересечение — промежуток \((3;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(\left[\frac{1 - \sqrt{27}}{2};\ -2\right) \cup \left(3;\ \frac{1 + \sqrt{27}}{2}\right]\); 2) \(\left(-\infty;\ -\frac{3}{2}\right) \cup (1;\ +\infty)\); 3) \([1{,}5;\ +\infty)\); 4) \((3;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{1{,}6} \log_{0{,}5}(x^2 - x - 6) \ge 0\); 2) \(\log_{0{,}5} \log_{4}(2x^2 + x - 1) < 1\); 3) \(\log_{\frac{1}{9}} \log_{3} \frac{x}{x - 1} \ge 0\); 4) \(\log_{1{,}5} \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} \le 0\).
Здесь логарифм стоит под знаком логарифма: внешний логарифм даёт неравенство для внутреннего, а внутренний — систему для \(x\).
1) Так как \(0 = \log_{1{,}6} 1\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{1{,}6} \log_{0{,}5}(x^2 - x - 6) \geqslant \log_{1{,}6} 1\). Основание \(1{,}6\) больше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(\log_{0{,}5}(x^2 - x - 6) \geqslant 1\) (число 1 положительно, так что отдельного условия положительности внутреннего логарифма не возникает).
Так как \(1 = \log_{0{,}5} 0{,}5\), а основание \(0{,}5\) меньше единицы, полученное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - x - 6 \leqslant 0{,}5, \\ x^2 - x - 6 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} x^2 - x - 6{,}5 \leqslant 0, \\ (x + 2)(x - 3) > 0. \end{cases}\] Дискриминант трёхчлена \(x^2 - x - 6{,}5\) равен \(1 + 26 = 27\), его корни — числа \(\frac{1 - \sqrt{27}}{2}\) и \(\frac{1 + \sqrt{27}}{2}\). Значит, первое неравенство системы даёт \(\frac{1 - \sqrt{27}}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1 + \sqrt{27}}{2}\), а второе — \(x < -2\) или \(x > 3\).
Так как \(27 > 25\), то \(\sqrt{27} > 5\), а потому \(\frac{1 - \sqrt{27}}{2} < -2\) и \(\frac{1 + \sqrt{27}}{2} > 3\). Пересечение найденных множеств таково: \[\left[\begin{array}{l} \frac{1 - \sqrt{27}}{2} \leqslant x < -2, \\ 3 < x \leqslant \frac{1 + \sqrt{27}}{2}. \end{array}\right.\]
2) Так как \(1 = \log_{0{,}5} 0{,}5\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{0{,}5} \log_{4}(2x^2 + x - 1) < \log_{0{,}5} 0{,}5\). Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(\log_{4}(2x^2 + x - 1) > 0{,}5\). Здесь же содержится и условие существования внешнего логарифма: его аргумент больше \(0{,}5\), а значит, положителен.
Так как \(0{,}5 = \log_{4} 2\), а основание 4 больше единицы, полученное неравенство равносильно такому: \(2x^2 + x - 1 > 2\). Отсюда \(2x^2 + x - 3 > 0\); \((2x + 3)(x - 1) > 0\); \[\left[\begin{array}{l} x < -\frac{3}{2}, \\ x > 1. \end{array}\right.\]
3) Так как \(0 = \log_{\frac{1}{9}} 1\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{\frac{1}{9}} \log_{3} \frac{x}{x - 1} \geqslant \log_{\frac{1}{9}} 1\). Основание \(\frac{1}{9}\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{3} \frac{x}{x - 1} \leqslant 1, \\ \log_{3} \frac{x}{x - 1} > 0. \end{cases}\] Так как \(1 = \log_{3} 3\), \(0 = \log_{3} 1\), а основание 3 больше единицы, эта система равносильна такой: \[\begin{cases} \frac{x}{x - 1} \leqslant 3, \\ \frac{x}{x - 1} > 1. \end{cases}\] Первое неравенство: \(\frac{x}{x - 1} - 3 \leqslant 0\); \(\frac{-2x + 3}{x - 1} \leqslant 0\); \(\frac{2x - 3}{x - 1} \geqslant 0\); отсюда \(x < 1\) или \(x \geqslant 1{,}5\). Второе неравенство: \(\frac{x}{x - 1} - 1 > 0\); \(\frac{1}{x - 1} > 0\); отсюда \(x > 1\). Пересечение найденных множеств — промежуток \([1{,}5;\ +\infty)\).
4) Так как \(0 = \log_{1{,}5} 1\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{1{,}5} \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} \leqslant \log_{1{,}5} 1\). Основание \(1{,}5\) больше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} \leqslant 1, \\ \log_{3} \frac{3x - 5}{x + 1} > 0. \end{cases}\] Основание 3 больше единицы, а \(1 = \log_{3} 3\) и \(0 = \log_{3} 1\), поэтому эта система равносильна такой: \[\begin{cases} \frac{3x - 5}{x + 1} \leqslant 3, \\ \frac{3x - 5}{x + 1} > 1. \end{cases}\] Первое неравенство: \(\frac{3x - 5}{x + 1} - 3 \leqslant 0\); \(\frac{-8}{x + 1} \leqslant 0\); отсюда \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\). Второе неравенство: \(\frac{3x - 5}{x + 1} - 1 > 0\); \(\frac{2x - 6}{x + 1} > 0\); отсюда \(x < -1\) или \(x > 3\). Пересечение найденных множеств — промежуток \((3;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(\left[\frac{1 - \sqrt{27}}{2};\ -2\right) \cup \left(3;\ \frac{1 + \sqrt{27}}{2}\right]\); 2) \(\left(-\infty;\ -\frac{3}{2}\right) \cup (1;\ +\infty)\); 3) \([1{,}5;\ +\infty)\); 4) \((3;\ +\infty)\).
