Страница 74 номер 8.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(f(x) = (x - 1)e^{-x}\) на промежутке \([1;\ 3]\); 2) \(f(x) = 5^{x^2 + 2x}\) на промежутке \([-2;\ 1]\).
1) \(f'(x) = e^{-x} + (x - 1)e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}(2 - x)\).
Здесь \(e^{-x} > 0\), поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 2\), и эта точка принадлежит отрезку \([1;\ 3]\).
\(f(1) = 0\), \(f(2) = e^{-2} = \frac{1}{e^{2}}\), \(f(3) = 2e^{-3} = \frac{2}{e^{3}}\).
Сравним два последних значения: \(\frac{1}{e^{2}} - \frac{2}{e^{3}} = \frac{e - 2}{e^{3}} > 0\), так как \(e > 2\). Значит, наибольшее значение равно \(\frac{1}{e^{2}}\), наименьшее равно 0.
2) \(f'(x) = 5^{x^{2} + 2x}\ln 5 \cdot \left(x^{2} + 2x\right)' = 5^{x^{2} + 2x}\ln 5 \cdot (2x + 2)\).
Здесь \(5^{x^{2} + 2x}\ln 5 > 0\), поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = -1\), и эта точка принадлежит отрезку \([-2;\ 1]\).
\(f(-2) = 5^{0} = 1\), \(f(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5}\), \(f(1) = 5^{3} = 125\). Наибольшее из них равно 125, наименьшее равно \(\frac{1}{5}\).
Ответ: 1) наибольшее значение \(\frac{1}{e^{2}}\), наименьшее значение 0; 2) наибольшее значение 125, наименьшее значение \(\frac{1}{5}\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(f(x) = (x - 1)e^{-x}\) на промежутке \([1;\ 3]\); 2) \(f(x) = 5^{x^2 + 2x}\) на промежутке \([-2;\ 1]\).
1) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = e^{-x} + (x - 1)e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}(2 - x)\).
Множитель \(e^{-x}\) положителен, поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 2\), и эта точка принадлежит отрезку \([1;\ 3]\).
Вычислим значения функции в ней и на концах отрезка: \(f(1) = 0\), \(f(2) = e^{-2} = \frac{1}{e^{2}}\), \(f(3) = 2e^{-3} = \frac{2}{e^{3}}\).
Сравним два последних значения: \(\frac{1}{e^{2}} - \frac{2}{e^{3}} = \frac{e - 2}{e^{3}} > 0\), так как \(e > 2\). Значит, наибольшее значение равно \(\frac{1}{e^{2}}\), наименьшее равно 0.
2) Имеем: \(f'(x) = 5^{x^{2} + 2x}\ln 5 \cdot \left(x^{2} + 2x\right)' = 5^{x^{2} + 2x}\ln 5 \cdot (2x + 2)\).
Множитель \(5^{x^{2} + 2x}\ln 5\) положителен, поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = -1\), и эта точка принадлежит отрезку \([-2;\ 1]\).
Вычислим значения функции в ней и на концах отрезка: \(f(-2) = 5^{0} = 1\), \(f(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5}\), \(f(1) = 5^{3} = 125\). Наибольшее из них равно 125, наименьшее равно \(\frac{1}{5}\).
Ответ: 1) наибольшее значение \(\frac{1}{e^{2}}\), наименьшее значение 0; 2) наибольшее значение 125, наименьшее значение \(\frac{1}{5}\).
