Страница 75 номер 8.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = e^{x} - x - 1\) и докажите, что при \(x \in \mathbf{R}\) выполняется неравенство \(e^{x} \ge 1 + x\).
\(D(f) = \mathbf{R}\); \(f'(x) = e^{x} - 1\).
\(f'(x) > 0\), если \(e^{x} > 1\), то есть при \(x > 0\); при \(x < 0\) получаем \(f'(x) < 0\); \(f'(0) = 0\). Функция возрастает на \([0;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ 0]\), \(x_{\min} = 0\).
Слева от нуля функция убывает, справа возрастает, поэтому наименьшее на всей числовой прямой значение она принимает в точке 0: \(f(0) = e^{0} - 0 - 1 = 0\).
Значит, \(f(x) \geqslant 0\) при всех \(x\), то есть \(e^{x} - x - 1 \geqslant 0\), откуда \(e^{x} \geqslant 1 + x\). Неравенство доказано, причём равенство достигается только при \(x = 0\).
Ответ: функция возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\); неравенство доказано при всех \(x \in \mathbf{R}\).
Найдите промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = e^{x} - x - 1\) и докажите, что при \(x \in \mathbf{R}\) выполняется неравенство \(e^{x} \ge 1 + x\).
Область определения функции \(f\) — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = e^{x} - 1\).
Тогда \(f'(x) > 0\), если \(e^{x} > 1\), то есть при \(x > 0\); при \(x < 0\) получаем \(f'(x) < 0\); \(f'(0) = 0\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), \(x_{\min} = 0\).
Слева от нуля функция убывает, справа возрастает, поэтому наименьшее значение на всей числовой прямой она принимает в точке 0. Это значение равно \(f(0) = e^{0} - 0 - 1 = 0\).
Следовательно, \(f(x) \geqslant 0\) при всех \(x\), то есть \(e^{x} - x - 1 \geqslant 0\), откуда \(e^{x} \geqslant 1 + x\). Неравенство доказано, причём равенство достигается только при \(x = 0\).
Ответ: функция возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\); неравенство доказано при всех \(x \in \mathbf{R}\).
