Страница 74 номер 8.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = e^{x} - 1\).

Тогда \(f'(x) > 0\), если \(e^{x} > 1\), то есть при \(x > 0\); при \(x < 0\) получаем \(f'(x) < 0\); \(f'(0) = 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), \(x_{\min} = 0\).

2) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(2x + 1)\).

Множитель \(e^{2x}\) положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(2x + 1\): \(f'(x) > 0\) при \(x > -\frac{1}{2}\) и \(f'(x) < 0\) при \(x < -\frac{1}{2}\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left[-\frac{1}{2};\ +\infty\right)\), убывает на промежутке \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right]\), \(x_{\min} = -\frac{1}{2}\).

3) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = -e^{x + 1} + (1 - x)e^{x + 1} = -xe^{x + 1}\).

Множитель \(e^{x + 1}\) положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(x < 0\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 0\).

4) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \[\begin{aligned} &f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} + x^{2} \cdot 2^{-x}\ln 2 \cdot (-x)' = {} \\ &= 2x \cdot 2^{-x} - x^{2} \cdot 2^{-x}\ln 2 = 2^{-x} x (2 - x\ln 2). \end{aligned}\]

Множитель \(2^{-x}\) положителен, поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 0\) и при \(x = \frac{2}{\ln 2}\), а знак производной совпадает со знаком произведения \(x(2 - x\ln 2)\). Проверим его пробными точками: при \(x = -1\) получаем \(-(2 + \ln 2) < 0\); при \(x = \frac{1}{\ln 2}\) получаем \(\frac{1}{\ln 2} \cdot (2 - 1) > 0\); при \(x = \frac{4}{\ln 2}\) получаем \(\frac{4}{\ln 2} \cdot (2 - 4) < 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left[0;\ \frac{2}{\ln 2}\right]\), убывает на промежутках \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{2}{\ln 2};\ +\infty\right)\), \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{2}{\ln 2}\).

5) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = 4e^{2 - x} + 4x e^{2 - x} \cdot (-1) = 4e^{2 - x}(1 - x)\).

Множитель \(4e^{2 - x}\) положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(x < 1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 1\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 1]\), убывает на промежутке \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\).

6) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = e^{x^{2}} \cdot (x^{2})' = 2xe^{x^{2}}\).

Множитель \(e^{x^{2}}\) положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком \(x\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), \(x_{\min} = 0\).

7) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = e^{4x - x^{2} + 1} \cdot (4x - x^{2} + 1)' = e^{4x - x^{2} + 1}(4 - 2x)\).

Множитель \(e^{4x - x^{2} + 1}\) положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(x < 2\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 2\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 2]\), убывает на промежутке \([2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 2\).

8) Область определения функции — объединение промежутков \((-\infty;\ 2)\) и \((2;\ +\infty)\). Применяя теорему о производной частного, получаем: \[f'(x) = \frac{e^{x}(x - 2) - e^{x}}{(x - 2)^{2}} = \frac{e^{x}(x - 3)}{(x - 2)^{2}}.\]

Дробь \(\frac{e^{x}}{(x - 2)^{2}}\) положительна на всей области определения, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(x - 3\). Пробные точки: при \(x = 0\) получаем \(-3 < 0\); при \(x = 2{,}5\) получаем \(-0{,}5 < 0\); при \(x = 4\) получаем \(1 > 0\).

Точка 2 области определения не принадлежит, поэтому промежуток убывания распадается на два. Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([3;\ +\infty)\), убывает на промежутках \((-\infty;\ 2)\) и \((2;\ 3]\), \(x_{\min} = 3\).

9) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Применяя теорему о производной частного, получаем: \[f'(x) = \frac{4e^{x} - 4xe^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = \frac{4e^{x}(1 - x)}{e^{2x}} = \frac{4(1 - x)}{e^{x}}.\]

Знаменатель положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(x < 1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 1\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 1]\), убывает на промежутке \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\).

10) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Применяя теорему о производной произведения, получаем: \(f'(x) = 3x^{2}\ln x + x^{3} \cdot \frac{1}{x} = x^{2}(3\ln x + 1)\).

Множитель \(x^{2}\) положителен на области определения, поэтому \(f'(x) > 0\), если \(\ln x > -\frac{1}{3}\), то есть при \(x > e^{-\frac{1}{3}}\); при \(0 < x < e^{-\frac{1}{3}}\) получаем \(f'(x) < 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left[e^{-\frac{1}{3}};\ +\infty\right)\), убывает на промежутке \(\left(0;\ e^{-\frac{1}{3}}\right]\), \(x_{\min} = e^{-\frac{1}{3}}\).

11) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \(f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}\).

На области определения \(x > 0\), поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(1 - x\): \(f'(x) > 0\) при \(0 < x < 1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 1\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((0;\ 1]\), убывает на промежутке \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\).

12) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Учитывая, что \(\lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}\), получаем: \[f'(x) = 2x\lg x + x^{2} \cdot \frac{1}{x\ln 10} = \frac{2x\ln x}{\ln 10} + \frac{x}{\ln 10} = \frac{x(2\ln x + 1)}{\ln 10}.\]

Множитель \(\frac{x}{\ln 10}\) положителен на области определения, поэтому \(f'(x) > 0\), если \(\ln x > -\frac{1}{2}\), то есть при \(x > e^{-\frac{1}{2}}\); при \(0 < x < e^{-\frac{1}{2}}\) получаем \(f'(x) < 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left[e^{-\frac{1}{2}};\ +\infty\right)\), убывает на промежутке \(\left(0;\ e^{-\frac{1}{2}}\right]\), \(x_{\min} = e^{-\frac{1}{2}}\).

13) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \(f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x - 1}{x^{2}}\).

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(x - 1\): \(f'(x) < 0\) при \(0 < x < 1\) и \(f'(x) > 0\) при \(x > 1\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\), убывает на промежутке \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\).

14) Область определения задаётся условиями \(x > 0\) и \(\ln x \ne 0\), поэтому она является объединением промежутков \((0;\ 1)\) и \((1;\ +\infty)\). Применяя теорему о производной частного, получаем: \[f'(x) = \frac{\ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^{2} x} = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2} x}.\]

Знаменатель положителен на области определения, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(\ln x - 1\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{e}\) получаем \(-1 - 1 < 0\); при \(x = 2\) получаем \(\ln 2 - 1 < 0\), так как \(2 < e\); при \(x = e^{2}\) получаем \(2 - 1 > 0\).

Точка 1 области определения не принадлежит, поэтому промежуток убывания распадается на два. Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \([e;\ +\infty)\), убывает на промежутках \((0;\ 1)\) и \((1;\ e]\), \(x_{\min} = e\).

15) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Производную корня находим по формуле производной степенной функции: \(\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Применяя теорему о производной частного, получаем: \[f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2 - \ln x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}.\]

Знаменатель положителен на области определения, поэтому \(f'(x) > 0\), если \(\ln x < 2\), то есть при \(0 < x < e^{2}\); при \(x > e^{2}\) получаем \(f'(x) < 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left(0;\ e^{2}\right]\), убывает на промежутке \(\left[e^{2};\ +\infty\right)\), \(x_{\max} = e^{2}\).

16) Область определения задаётся условием \(x^{2} > 0\), то есть \(x \ne 0\): она является объединением промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). Имеем: \[f'(x) = 2x - \frac{1}{x^{2}} \cdot 2x = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2\left(x^{2} - 1\right)}{x} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}.\]

Тогда \(f'(x) = 0\) при \(x = -1\) и при \(x = 1\). Пробные точки: при \(x = -2\) получаем \(\frac{2 \cdot (-3) \cdot (-1)}{-2} = -3 < 0\); при \(x = -\frac{1}{2}\) получаем \(\frac{2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 3 > 0\); при \(x = \frac{1}{2}\) получаем \(\frac{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = -3 < 0\); при \(x = 2\) получаем \(\frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{2} = 3 > 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутках \([-1;\ 0)\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на промежутках \((-\infty;\ -1]\) и \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = -1\), \(x_{\min} = 1\).

17) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \[f'(x) = 6\ln^{2} x \cdot \frac{1}{x} - 6\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{6\ln x(\ln x - 1)}{x}.\]

Тогда \(f'(x) = 0\), если \(\ln x = 0\) или \(\ln x = 1\), то есть при \(x = 1\) и при \(x = e\). Пробные точки: при \(x = \frac{1}{e}\) произведение \(\ln x(\ln x - 1)\) равно \((-1) \cdot (-2) = 2 > 0\); при \(x = \sqrt{e}\) оно равно \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} < 0\); при \(x = e^{2}\) оно равно \(2 \cdot 1 = 2 > 0\). Знаменатель положителен, поэтому знак производной такой же.

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутках \((0;\ 1]\) и \([e;\ +\infty)\), убывает на промежутке \([1;\ e]\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = e\).

18) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \(f'(x) = 2\lg x \cdot \frac{1}{x\ln 10} - \frac{1}{x\ln 10} = \frac{2\lg x - 1}{x\ln 10}\).

Знаменатель \(x\ln 10\) положителен на области определения, поэтому \(f'(x) > 0\), если \(\lg x > \frac{1}{2}\), то есть при \(x > 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}\); при \(0 < x < \sqrt{10}\) получаем \(f'(x) < 0\).

Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \(\left[\sqrt{10};\ +\infty\right)\), убывает на промежутке \(\left(0;\ \sqrt{10}\right]\), \(x_{\min} = \sqrt{10}\).

Ответ: 1) возрастает на \([0;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ 0]\), \(x_{\min} = 0\); 2) возрастает на \(\left[-\frac{1}{2};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right]\), \(x_{\min} = -\frac{1}{2}\); 3) возрастает на \((-\infty;\ 0]\), убывает на \([0;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 0\); 4) возрастает на \(\left[0;\ \frac{2}{\ln 2}\right]\), убывает на \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{2}{\ln 2};\ +\infty\right)\), \(x_{\min} = 0\), \(x_{\max} = \frac{2}{\ln 2}\); 5) возрастает на \((-\infty;\ 1]\), убывает на \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\); 6) возрастает на \([0;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ 0]\), \(x_{\min} = 0\); 7) возрастает на \((-\infty;\ 2]\), убывает на \([2;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 2\); 8) возрастает на \([3;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ 2)\) и \((2;\ 3]\), \(x_{\min} = 3\); 9) возрастает на \((-\infty;\ 1]\), убывает на \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\); 10) возрастает на \(\left[e^{-\frac{1}{3}};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left(0;\ e^{-\frac{1}{3}}\right]\), \(x_{\min} = e^{-\frac{1}{3}}\); 11) возрастает на \((0;\ 1]\), убывает на \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\); 12) возрастает на \(\left[e^{-\frac{1}{2}};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left(0;\ e^{-\frac{1}{2}}\right]\), \(x_{\min} = e^{-\frac{1}{2}}\); 13) возрастает на \([1;\ +\infty)\), убывает на \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = 1\); 14) возрастает на \([e;\ +\infty)\), убывает на \((0;\ 1)\) и \((1;\ e]\), \(x_{\min} = e\); 15) возрастает на \(\left(0;\ e^{2}\right]\), убывает на \(\left[e^{2};\ +\infty\right)\), \(x_{\max} = e^{2}\); 16) возрастает на \([-1;\ 0)\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \((0;\ 1]\), \(x_{\min} = -1\), \(x_{\min} = 1\); 17) возрастает на \((0;\ 1]\) и \([e;\ +\infty)\), убывает на \([1;\ e]\), \(x_{\max} = 1\), \(x_{\min} = e\); 18) возрастает на \(\left[\sqrt{10};\ +\infty\right)\), убывает на \(\left(0;\ \sqrt{10}\right]\), \(x_{\min} = \sqrt{10}\).