Страница 64 номер 7.8, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{2}(2x - 3) < \log_{2}(x + 1)\); 2) \(\log_{0{,}6}(3 - 2x) > \log_{0{,}6}(5x - 2)\); 3) \(\lg(x^2 - 2) \ge \lg(4x + 3)\); 4) \(\log_{0{,}1}(10 - 2x) \ge \log_{0{,}1}(x^2 - x - 2)\).
1) Основание \(2 > 1\): \[\begin{cases} 2x - 3 < x + 1, \\ 2x - 3 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 4, \\ x > \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{3}{2} < x < 4.\]
2) Основание \(0{,}6 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 3 - 2x < 5x - 2, \\ 3 - 2x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > \frac{5}{7}, \\ x < \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{5}{7} < x < \frac{3}{2}.\]
3) Основание десятичного логарифма \(10 > 1\): \[\begin{cases} x^{2} - 2 \geqslant 4x + 3, \\ 4x + 3 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(x^{2} - 4x - 5 \geqslant 0\); \((x + 1)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant -1, \\ x \geqslant 5. \end{array}\right.\]
Второе даёт \(x > -\frac{3}{4}\). Так как \(-1 < -\frac{3}{4}\), промежуток \(x \leqslant -1\) этому условию не удовлетворяет ни в одной точке, и остаётся \(x \geqslant 5\).
4) Основание \(0{,}1 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 10 - 2x \leqslant x^{2} - x - 2, \\ 10 - 2x > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(x^{2} + x - 12 \geqslant 0\); \((x + 4)(x - 3) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 3. \end{array}\right.\]
Второе даёт \(x < 5\); пересекая промежутки, получаем \(x \leqslant -4\) или \(3 \leqslant x < 5\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{3}{2};\ 4\right)\); 2) \(\left(\frac{5}{7};\ \frac{3}{2}\right)\); 3) \([5;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -4] \cup [3;\ 5)\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{2}(2x - 3) < \log_{2}(x + 1)\); 2) \(\log_{0{,}6}(3 - 2x) > \log_{0{,}6}(5x - 2)\); 3) \(\lg(x^2 - 2) \ge \lg(4x + 3)\); 4) \(\log_{0{,}1}(10 - 2x) \ge \log_{0{,}1}(x^2 - x - 2)\).
1) Основание 2 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x - 3 < x + 1, \\ 2x - 3 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 4, \\ x > \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{3}{2} < x < 4.\]
2) Основание \(0{,}6\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 3 - 2x < 5x - 2, \\ 3 - 2x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > \frac{5}{7}, \\ x < \frac{3}{2}; \end{cases} \quad \frac{5}{7} < x < \frac{3}{2}.\]
3) Основание десятичного логарифма — число 10, оно больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 2 \geqslant 4x + 3, \\ 4x + 3 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} - 4x - 5 \geqslant 0\); \((x + 1)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant -1, \\ x \geqslant 5. \end{array}\right.\]
Второе неравенство даёт \(x > -\frac{3}{4}\). Так как \(-1 < -\frac{3}{4}\), промежуток \(x \leqslant -1\) этому условию не удовлетворяет ни в одной точке, и остаётся \(x \geqslant 5\).
4) Основание \(0{,}1\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 10 - 2x \leqslant x^{2} - x - 2, \\ 10 - 2x > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} + x - 12 \geqslant 0\); \((x + 4)(x - 3) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 3. \end{array}\right.\]
Второе неравенство даёт \(x < 5\). Пересекая промежутки, получаем \(x \leqslant -4\) или \(3 \leqslant x < 5\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{3}{2};\ 4\right)\); 2) \(\left(\frac{5}{7};\ \frac{3}{2}\right)\); 3) \([5;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -4] \cup [3;\ 5)\).
