Страница 72 номер 8.3, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите производную функции: 1) \(y = \log_{9} x\); 2) \(y = \ln 2x\); 3) \(y = \lg(x^2 - 4)\); 4) \(y = \ln^{2} x\); 5) \(y = \ln \sin x\); 6) \(y = \frac{\ln x}{x^{3}}\); 7) \(y = \log_{0{,}2}(2x^2 + x - 4)\); 8) \(y = \ln(1 - 0{,}2x)\); 9) \(y = x^{5} \ln x\).
1) \(y' = (\log_{9} x)' = \frac{1}{x\ln 9}\).
2) \(y' = (\ln 2x)' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}\).
3) \[y' = \left(\lg(x^{2} - 4)\right)' = \frac{1}{(x^{2} - 4)\ln 10} \cdot (x^{2} - 4)' = \frac{2x}{(x^{2} - 4)\ln 10}.\]
4) Запись \(\ln^{2} x\) означает \((\ln x)^{2}\), поэтому \[y' = (\ln^{2} x)' = 2\ln x \cdot (\ln x)' = \frac{2\ln x}{x}.\]
5) \[y' = (\ln \sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg} x.\]
6) \[\begin{aligned} &y' = \frac{(\ln x)' \cdot x^{3} - (x^{3})' \cdot \ln x}{\left(x^{3}\right)^{2}} = {} \\ &= \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{3} - 3x^{2}\ln x}{x^{6}} = \frac{x^{2}(1 - 3\ln x)}{x^{6}} = \frac{1 - 3\ln x}{x^{4}}. \end{aligned}\]
7) \[y' = \frac{1}{(2x^{2} + x - 4)\ln 0{,}2} \cdot (2x^{2} + x - 4)' = \frac{4x + 1}{(2x^{2} + x - 4)\ln 0{,}2}.\]
Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому в знаменателе стоит отрицательное число \(\ln 0{,}2\).
8) Производная внутренней функции \(1 - 0{,}2x\) равна \(-0{,}2\), поэтому \[y' = \left(\ln(1 - 0{,}2x)\right)' = \frac{1}{1 - 0{,}2x} \cdot (1 - 0{,}2x)' = -\frac{0{,}2}{1 - 0{,}2x}.\]
9) \[y' = (x^{5})' \cdot \ln x + (\ln x)' \cdot x^{5} = 5x^{4}\ln x + \frac{1}{x} \cdot x^{5} = x^{4}(5\ln x + 1).\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{x\ln 9}\); 2) \(\frac{1}{x}\); 3) \(\frac{2x}{(x^{2} - 4)\ln 10}\); 4) \(\frac{2\ln x}{x}\); 5) \(\operatorname{ctg} x\); 6) \(\frac{1 - 3\ln x}{x^{4}}\); 7) \(\frac{4x + 1}{(2x^{2} + x - 4)\ln 0{,}2}\); 8) \(-\frac{0{,}2}{1 - 0{,}2x}\); 9) \(x^{4}(5\ln x + 1)\).
Найдите производную функции: 1) \(y = \log_{9} x\); 2) \(y = \ln 2x\); 3) \(y = \lg(x^2 - 4)\); 4) \(y = \ln^{2} x\); 5) \(y = \ln \sin x\); 6) \(y = \frac{\ln x}{x^{3}}\); 7) \(y = \log_{0{,}2}(2x^2 + x - 4)\); 8) \(y = \ln(1 - 0{,}2x)\); 9) \(y = x^{5} \ln x\).
1) По формуле производной логарифмической функции \(y' = (\log_{9} x)' = \frac{1}{x\ln 9}\).
2) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(y' = (\ln 2x)' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}\).
3) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \[y' = \left(\lg(x^{2} - 4)\right)' = \frac{1}{(x^{2} - 4)\ln 10} \cdot (x^{2} - 4)' = \frac{2x}{(x^{2} - 4)\ln 10}.\]
4) Запись \(\ln^{2} x\) означает \((\ln x)^{2}\), поэтому, применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[y' = (\ln^{2} x)' = 2\ln x \cdot (\ln x)' = \frac{2\ln x}{x}.\]
5) Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[y' = (\ln \sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg} x.\]
6) Применяя теорему о производной частного, получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(\ln x)' \cdot x^{3} - (x^{3})' \cdot \ln x}{\left(x^{3}\right)^{2}} = {} \\ &= \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{3} - 3x^{2}\ln x}{x^{6}} = \frac{x^{2}(1 - 3\ln x)}{x^{6}} = \frac{1 - 3\ln x}{x^{4}}. \end{aligned}\]
7) Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[y' = \frac{1}{(2x^{2} + x - 4)\ln 0{,}2} \cdot (2x^{2} + x - 4)' = \frac{4x + 1}{(2x^{2} + x - 4)\ln 0{,}2}.\]
Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому в знаменателе стоит отрицательное число \(\ln 0{,}2\).
8) Производная внутренней функции \(1 - 0{,}2x\) равна \(-0{,}2\), поэтому \[y' = \left(\ln(1 - 0{,}2x)\right)' = \frac{1}{1 - 0{,}2x} \cdot (1 - 0{,}2x)' = -\frac{0{,}2}{1 - 0{,}2x}.\]
9) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[y' = (x^{5})' \cdot \ln x + (\ln x)' \cdot x^{5} = 5x^{4}\ln x + \frac{1}{x} \cdot x^{5} = x^{4}(5\ln x + 1).\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{x\ln 9}\); 2) \(\frac{1}{x}\); 3) \(\frac{2x}{(x^{2} - 4)\ln 10}\); 4) \(\frac{2\ln x}{x}\); 5) \(\operatorname{ctg} x\); 6) \(\frac{1 - 3\ln x}{x^{4}}\); 7) \(\frac{4x + 1}{(2x^{2} + x - 4)\ln 0{,}2}\); 8) \(-\frac{0{,}2}{1 - 0{,}2x}\); 9) \(x^{4}(5\ln x + 1)\).
