Страница 66 номер 7.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{0{,}5}^{2} x \ge 9\); 2) \(\lg^{2} x - 2\lg x - 3 \ge 0\); 3) \(2\log_{4}^{2} x - \log_{4} x - 1 < 0\); 4) \(\log_{0{,}2}^{2} x - \log_{0{,}2} x - 2 \le 0\).
Если основание меньше единицы, то при обратном переходе к переменной \(x\) знак неравенства меняется на противоположный.
1) Пусть \(\log_{0{,}5} x = t\). Получаем: \(t^2 \geqslant 9\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -3, \\ t \geqslant 3. \end{array}\right.\]
Так как \(-3 = \log_{0{,}5} 8\), а \(3 = \log_{0{,}5} \frac{1}{8}\), имеем \[\left[\begin{array}{l} \log_{0{,}5} x \leqslant \log_{0{,}5} 8, \\ \log_{0{,}5} x \geqslant \log_{0{,}5} \frac{1}{8}; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} x \geqslant 8, \\ 0 < x \leqslant \frac{1}{8}. \end{array}\right.\]
2) Пусть \(\lg x = t\). Получаем: \(t^2 - 2t - 3 \geqslant 0\); \((t - 3)(t + 1) \geqslant 0\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -1, \\ t \geqslant 3. \end{array}\right.\]
Так как \(-1 = \lg 0{,}1\), а \(3 = \lg 1000\), имеем \[\left[\begin{array}{l} \lg x \leqslant \lg 0{,}1, \\ \lg x \geqslant \lg 1000; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant 0{,}1, \\ x \geqslant 1000. \end{array}\right.\]
3) Пусть \(\log_{4} x = t\). Получаем: \(2t^2 - t - 1 < 0\); \((2t + 1)(t - 1) < 0\); \(-\frac{1}{2} < t < 1\).
Так как \(-\frac{1}{2} = \log_{4} 0{,}5\), а \(1 = \log_{4} 4\), то \(\log_{4} 0{,}5 < \log_{4} x < \log_{4} 4\). Основание 4 больше единицы, поэтому \(0{,}5 < x < 4\).
4) Пусть \(\log_{0{,}2} x = t\). Получаем: \(t^2 - t - 2 \leqslant 0\); \((t - 2)(t + 1) \leqslant 0\); \(-1 \leqslant t \leqslant 2\).
Так как \(-1 = \log_{0{,}2} 5\), а \(2 = \log_{0{,}2} 0{,}04\), то \(\log_{0{,}2} 5 \leqslant \log_{0{,}2} x \leqslant \log_{0{,}2} 0{,}04\). Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому \(0{,}04 \leqslant x \leqslant 5\).
Ответ: 1) \(\left(0;\ \frac{1}{8}\right] \cup [8;\ +\infty)\); 2) \((0;\ 0{,}1] \cup [1000;\ +\infty)\); 3) \((0{,}5;\ 4)\); 4) \([0{,}04;\ 5]\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{0{,}5}^{2} x \ge 9\); 2) \(\lg^{2} x - 2\lg x - 3 \ge 0\); 3) \(2\log_{4}^{2} x - \log_{4} x - 1 < 0\); 4) \(\log_{0{,}2}^{2} x - \log_{0{,}2} x - 2 \le 0\).
Каждое неравенство квадратное относительно логарифма: вводим новую переменную, решаем неравенство относительно неё, а затем возвращаемся к переменной \(x\). Если основание меньше единицы, то при обратном переходе знак неравенства меняется на противоположный.
1) Пусть \(\log_{0{,}5} x = t\). Получаем: \(t^2 \geqslant 9\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -3, \\ t \geqslant 3. \end{array}\right.\] Так как \(-3 = \log_{0{,}5} 8\), а \(3 = \log_{0{,}5} \frac{1}{8}\), имеем \[\left[\begin{array}{l} \log_{0{,}5} x \leqslant \log_{0{,}5} 8, \\ \log_{0{,}5} x \geqslant \log_{0{,}5} \frac{1}{8}; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} x \geqslant 8, \\ 0 < x \leqslant \frac{1}{8}. \end{array}\right.\]
2) Пусть \(\lg x = t\). Получаем: \(t^2 - 2t - 3 \geqslant 0\); \((t - 3)(t + 1) \geqslant 0\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -1, \\ t \geqslant 3. \end{array}\right.\] Так как \(-1 = \lg 0{,}1\), а \(3 = \lg 1000\), имеем \[\left[\begin{array}{l} \lg x \leqslant \lg 0{,}1, \\ \lg x \geqslant \lg 1000; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant 0{,}1, \\ x \geqslant 1000. \end{array}\right.\]
3) Пусть \(\log_{4} x = t\). Получаем: \(2t^2 - t - 1 < 0\); \((2t + 1)(t - 1) < 0\); \(-\frac{1}{2} < t < 1\).
Так как \(-\frac{1}{2} = \log_{4} 0{,}5\), а \(1 = \log_{4} 4\), получаем двойное неравенство \(\log_{4} 0{,}5 < \log_{4} x < \log_{4} 4\). Основание 4 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(0{,}5 < x < 4\).
4) Пусть \(\log_{0{,}2} x = t\). Получаем: \(t^2 - t - 2 \leqslant 0\); \((t - 2)(t + 1) \leqslant 0\); \(-1 \leqslant t \leqslant 2\).
Так как \(-1 = \log_{0{,}2} 5\), а \(2 = \log_{0{,}2} 0{,}04\), получаем двойное неравенство \(\log_{0{,}2} 5 \leqslant \log_{0{,}2} x \leqslant \log_{0{,}2} 0{,}04\). Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(0{,}04 \leqslant x \leqslant 5\).
Ответ: 1) \(\left(0;\ \frac{1}{8}\right] \cup [8;\ +\infty)\); 2) \((0;\ 0{,}1] \cup [1000;\ +\infty)\); 3) \((0{,}5;\ 4)\); 4) \([0{,}04;\ 5]\).
