Страница 64 номер 7.7, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Основание десятичного логарифма \(10 > 1\): \[\begin{cases} 2x + 3 > x - 1, \\ x - 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -4, \\ x > 1; \end{cases} \quad x > 1.\]
2) Основание \(5 > 1\): \[\begin{cases} 2x < x + 1, \\ 2x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 1, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 1.\]
3) Основание \(0{,}2 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 2x - 1 < 3x - 4, \\ 2x - 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > 3, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases} \quad x > 3.\]
4) Основание \(0{,}4 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x^{2} - 3 > x + 3, \\ x + 3 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(x^{2} - x - 6 > 0\); \((x + 2)(x - 3) > 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x < -2, \\ x > 3. \end{array}\right.\]
Второе даёт \(x > -3\); пересекая промежутки, получаем \(-3 < x < -2\) или \(x > 3\).
5) Основание \(0{,}7 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x^{2} - 2x - 3 \geqslant 9 - x, \\ 9 - x > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(x^{2} - x - 12 \geqslant 0\); \((x + 3)(x - 4) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 4. \end{array}\right.\]
Второе даёт \(x < 9\); пересекая промежутки, получаем \(x \leqslant -3\) или \(4 \leqslant x < 9\).
6) Основание \(\frac{1}{3} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x^{2} + x + 31 \geqslant 10x + 11, \\ 10x + 11 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(x^{2} - 9x + 20 \geqslant 0\); \((x - 4)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant 4, \\ x \geqslant 5. \end{array}\right.\]
Второе даёт \(x > -\frac{11}{10}\); пересекая промежутки, получаем \(-\frac{11}{10} < x \leqslant 4\) или \(x \geqslant 5\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \((0;\ 1)\); 3) \((3;\ +\infty)\); 4) \((-3;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\); 5) \((-\infty;\ -3] \cup [4;\ 9)\); 6) \(\left(-\frac{11}{10};\ 4\right] \cup [5;\ +\infty)\).
1) Основание десятичного логарифма — число 10, оно больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x + 3 > x - 1, \\ x - 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > -4, \\ x > 1; \end{cases} \quad x > 1.\]
2) Основание 5 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x < x + 1, \\ 2x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x < 1, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 1.\]
3) Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x - 1 < 3x - 4, \\ 2x - 1 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > 3, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases} \quad x > 3.\]
4) Основание \(0{,}4\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 3 > x + 3, \\ x + 3 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} - x - 6 > 0\); \((x + 2)(x - 3) > 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x < -2, \\ x > 3. \end{array}\right.\]
Второе неравенство даёт \(x > -3\). Пересекая промежутки, получаем \(-3 < x < -2\) или \(x > 3\).
5) Основание \(0{,}7\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 2x - 3 \geqslant 9 - x, \\ 9 - x > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} - x - 12 \geqslant 0\); \((x + 3)(x - 4) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 4. \end{array}\right.\]
Второе неравенство даёт \(x < 9\). Пересекая промежутки, получаем \(x \leqslant -3\) или \(4 \leqslant x < 9\).
6) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + x + 31 \geqslant 10x + 11, \\ 10x + 11 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} - 9x + 20 \geqslant 0\); \((x - 4)(x - 5) \geqslant 0\), откуда \[\left[\begin{array}{l} x \leqslant 4, \\ x \geqslant 5. \end{array}\right.\]
Второе неравенство даёт \(x > -\frac{11}{10}\). Пересекая промежутки, получаем \(-\frac{11}{10} < x \leqslant 4\) или \(x \geqslant 5\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \((0;\ 1)\); 3) \((3;\ +\infty)\); 4) \((-3;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\); 5) \((-\infty;\ -3] \cup [4;\ 9)\); 6) \(\left(-\frac{11}{10};\ 4\right] \cup [5;\ +\infty)\).
