Страница 31 номер 3.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Верно ли, что если все грани многогранника — равные квадраты, то этот многогранник — куб?
Утверждение неверно.
Возьмём куб и приставим к каждой из его шести граней по такому же кубу. Получится многогранник — пространственный крест из семи равных кубов.
Каждая грань центрального куба закрыта приставленным к ней кубом, поэтому поверхность многогранника состоит только из свободных граней приставленных кубов, а их у каждого пять из шести. Значит, поверхность составлена из \(6 \cdot 5 = 30\) квадратов, равных между собой, так как все семь кубов равны.
Каждый из них — грань многогранника: два квадрата, лежащие в одной плоскости, имеют только одну общую точку — вершину, и в один многоугольник не объединяются.
Но кубом полученный многогранник не является: у куба шесть граней, а у него их тридцать.
Ответ: неверно; например, у пространственного креста из семи равных кубов все грани — равные квадраты, а кубом он не является.
Верно ли, что если все грани многогранника — равные квадраты, то этот многогранник — куб?
Утверждение неверно. Приведём контрпример.
Возьмём куб и приставим к каждой из его шести граней по такому же кубу. Получится многогранник — пространственный крест из семи равных кубов.
Каждая грань центрального куба закрыта приставленным к ней кубом, поэтому поверхность полученного многогранника состоит только из свободных граней шести приставленных кубов. У каждого приставленного куба свободны пять граней из шести, значит, поверхность составлена из \(6 \cdot 5 = 30\) квадратов, и все они равны между собой, так как все семь кубов равны.
Каждый из этих тридцати квадратов является гранью многогранника: два квадрата поверхности, лежащие в одной плоскости, имеют только одну общую точку — вершину, и потому в один многоугольник не объединяются.
Но кубом полученный многогранник не является: у куба шесть граней, а у него их тридцать.
Ответ: неверно; например, у пространственного креста из семи равных кубов все грани — равные квадраты, а кубом он не является.
