Страница 43 номер 4.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(a\), точки \(C\) и \(D\) — прямой \(b\). Каково взаимное расположение прямых \(AC\) и \(BD\)? Ответ обоснуйте.
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны, поэтому через них проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Все четыре точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) принадлежат плоскости \(\alpha\), и по аксиоме А4 прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в плоскости \(\alpha\).
Прямые \(AC\) и \(BD\) различны: если бы они совпадали, то эта прямая содержала бы две точки \(A\) и \(B\) прямой \(a\), а через две точки проходит только одна прямая, поэтому она совпала бы с прямой \(a\) и точка \(C\) принадлежала бы прямой \(a\), чего быть не может, ведь \(a \parallel b\).
Значит, \(AC\) и \(BD\) — две различные прямые одной плоскости, а потому они либо пересекаются, либо параллельны. Осуществляются обе возможности.
Если точки \(C\) и \(D\) выбраны так, что \(AB = CD\) и отрезки \(AC\) и \(BD\) не пересекаются, то у четырёхугольника \(ABDC\) стороны \(AB\) и \(DC\) лежат на параллельных прямых \(a\) и \(b\) и равны между собой. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм, поэтому \(ABDC\) — параллелограмм, и его противоположные стороны \(AC\) и \(BD\) параллельны.
Если же точки \(C\) и \(D\) поменять местами, то отрезки \(AC\) и \(BD\) станут диагоналями того же параллелограмма, а диагонали параллелограмма пересекаются, значит, и прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются.
Ответ: прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются или параллельны.
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(a\), точки \(C\) и \(D\) — прямой \(b\). Каково взаимное расположение прямых \(AC\) и \(BD\)? Ответ обоснуйте.
По условию на прямой \(a\) взяты две точки \(A\) и \(B\), а на прямой \(b\) — две точки \(C\) и \(D\), поэтому \(A \ne B\) и \(C \ne D\).
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны, поэтому через них проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(a\), точки \(C\) и \(D\) — прямой \(b\), поэтому все четыре точки принадлежат плоскости \(\alpha\), и по аксиоме А4 прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в плоскости \(\alpha\).
Прямые \(AC\) и \(BD\) различны: если бы они совпадали, то эта прямая содержала бы две точки \(A\) и \(B\) прямой \(a\), а через две точки проходит только одна прямая, поэтому она совпала бы с прямой \(a\) и точка \(C\) принадлежала бы прямой \(a\), чего быть не может, ведь \(a \parallel b\).
Значит, \(AC\) и \(BD\) — две различные прямые одной плоскости. Скрещивающимися они быть не могут, а потому либо пересекаются, либо параллельны. Осуществляются обе возможности.
Если точки \(C\) и \(D\) выбраны так, что \(AB = CD\) и отрезки \(AC\) и \(BD\) не пересекаются, то у четырёхугольника \(ABDC\) стороны \(AB\) и \(DC\) лежат на параллельных прямых \(a\) и \(b\) и равны между собой. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм, поэтому \(ABDC\) — параллелограмм, и его противоположные стороны \(AC\) и \(BD\) параллельны.
Если же точки \(C\) и \(D\) на прямой \(b\) поменять местами, то отрезки \(AC\) и \(BD\) станут диагоналями того же параллелограмма, а диагонали параллелограмма пересекаются. Значит, в этом случае прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются.
Ответ: прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются или параллельны.
