Страница 30 номер 3.26, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) отмечены точки \(D\) и \(E\) соответственно (рис. 3.47). Постройте сечение призмы плоскостью \(CDE\).
Точки \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости \(ACC_1\) (\(D \in AA_1\)), то есть являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ACC_1\), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(ACC_1A_1\) по отрезку \(CD\).
Точки \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ABB_1\) (\(D \in AA_1\), \(E \in A_1B_1\)), то есть являются общими для неё и секущей плоскости. Следовательно, секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(DE\).
Прямые \(DE\) и \(BB_1\) лежат в плоскости \(ABB_1\). Пусть прямая \(DE\) пересекает прямую \(BB_1\) в точке \(Y\); эта точка лежит на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\). Поскольку \(BB_1 \subset BCC_1\), то \(Y \in BCC_1\). Поскольку \(DE \subset CDE\), то \(Y \in CDE\).
Значит, точки \(C\) и \(Y\) являются общими для плоскостей \(BCC_1\) и \(CDE\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(CY\). Пусть прямая \(CY\) пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(G\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(CG\), а верхнее основание \(A_1B_1C_1\) — по отрезку \(EG\).
С нижним основанием секущая плоскость имеет только одну общую точку — вершину \(C\). Значит, четырёхугольник \(CDEG\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(CDEG\), где \(G\) — точка пересечения ребра \(B_1C_1\) с прямой \(CY\), — искомое сечение.
На рёбрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) отмечены точки \(D\) и \(E\) соответственно (рис. 3.47). Постройте сечение призмы плоскостью \(CDE\).
Точки \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости \(ACC_1\) (\(D \in AA_1\)). Следовательно, эти точки являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ACC_1\), и секущая плоскость пересекает грань \(ACC_1A_1\) по отрезку \(CD\).
Точки \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ABB_1\) (\(D \in AA_1\), \(E \in A_1B_1\)), то есть являются общими для неё и секущей плоскости. Следовательно, секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(DE\).
Секущая плоскость и плоскость \(BCC_1\) имеют общую точку \(C\). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(C\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку плоскостей \(BCC_1\) и \(CDE\).
Прямые \(DE\) и \(BB_1\) лежат в плоскости \(ABB_1\). Пусть прямая \(DE\) пересекает прямую \(BB_1\) в точке \(Y\); эта точка лежит на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\). Поскольку \(BB_1 \subset BCC_1\), то \(Y \in BCC_1\). Поскольку \(DE \subset CDE\), то \(Y \in CDE\).
Значит, точки \(C\) и \(Y\) являются общими для плоскостей \(BCC_1\) и \(CDE\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(CY\).
Пусть прямая \(CY\) пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(G\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(CG\), а верхнее основание \(A_1B_1C_1\) — по отрезку \(EG\).
Стороны \(CD\), \(DE\), \(EG\) и \(GC\) лежат соответственно в гранях \(ACC_1A_1\), \(ABB_1A_1\), \(A_1B_1C_1\) и \(BCC_1B_1\), а с нижним основанием секущая плоскость имеет только одну общую точку — вершину \(C\). Значит, четырёхугольник \(CDEG\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(CDEG\), где \(G\) — точка пересечения ребра \(B_1C_1\) с прямой \(CY\), — искомое сечение.
