Страница 30 номер 3.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На боковом ребре \(BB_1\) призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечена точка \(M\) (рис. 3.49). Постройте сечение призмы плоскостью \(CMD\).
Точки \(C\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости \(CMD\) и плоскости нижнего основания, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(CD\), и с нижним основанием секущая плоскость имеет общим его ребро \(CD\).
Точки \(C\) и \(M\) принадлежат плоскости \(BCC_1\) (\(M \in BB_1\)), то есть являются общими для неё и секущей плоскости. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(CM\), и секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(CM\).
Прямые \(AB\) и \(CD\) лежат в плоскости нижнего основания и, как видно на рисунке, пересекаются. Пусть \(E\) — точка их пересечения; она лежит на продолжении ребра \(AB\) за точку \(A\) и на продолжении ребра \(CD\) за точку \(D\). Поскольку \(AB \subset ABB_1\), то \(E \in ABB_1\). Поскольку \(CD \subset CMD\), то \(E \in CMD\).
Значит, точки \(M\) и \(E\) являются общими для плоскостей \(ABB_1\) и \(CMD\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(ME\). Пусть прямая \(ME\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(N\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(MN\), а грань \(ADD_1A_1\) — по отрезку \(ND\).
Значит, четырёхугольник \(DCMN\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(DCMN\) — искомое сечение.
На боковом ребре \(BB_1\) призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечена точка \(M\) (рис. 3.49). Постройте сечение призмы плоскостью \(CMD\).
Точки \(C\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости \(CMD\) и плоскости нижнего основания. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(CD\), и с нижним основанием секущая плоскость имеет общим его ребро \(CD\).
Точки \(C\) и \(M\) принадлежат плоскости \(BCC_1\) (\(M \in BB_1\)), то есть являются общими для неё и секущей плоскости. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(CM\), и секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(CM\).
Секущая плоскость и плоскость \(ABB_1\) имеют общую точку \(M\). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку плоскостей \(ABB_1\) и \(CMD\).
Прямые \(AB\) и \(CD\) лежат в плоскости нижнего основания и, как видно на рисунке, пересекаются. Пусть \(E\) — точка их пересечения; она лежит на продолжении ребра \(AB\) за точку \(A\) и на продолжении ребра \(CD\) за точку \(D\). Поскольку \(AB \subset ABB_1\), то \(E \in ABB_1\). Поскольку \(CD \subset CMD\), то \(E \in CMD\).
Значит, точки \(M\) и \(E\) являются общими для плоскостей \(ABB_1\) и \(CMD\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(ME\).
Пусть прямая \(ME\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(N\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(MN\), а грань \(ADD_1A_1\) — по отрезку \(ND\).
Значит, четырёхугольник \(DCMN\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(DCMN\) — искомое сечение.
