Страница 44 номер 4.11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

1) Пусть \(M\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b\). Точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а прямые \(a\) и \(c\) параллельны и общих точек не имеют, поэтому \(M \notin c\). Через точку \(M\) проходит прямая, параллельная прямой \(c\), и притом только одна; это прямая \(a\). Прямая \(b\) от прямой \(a\) отлична, поэтому прямая \(b\) прямой \(c\) не параллельна.

Значит, прямые \(b\) и \(c\) либо пересекаются, либо скрещиваются. Оба случая возможны.

Возьмём куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и прямые \(a = AB\), \(b = AD\): они пересекаются в точке \(A\).

Если \(c = DC\), то \(a \parallel c\), так как \(AB\) и \(DC\) — противоположные стороны квадрата \(ABCD\). Прямые \(b\) и \(c\) при этом пересекаются в точке \(D\).

Если \(c = D_1C_1\), то \(a \parallel c\), так как рёбра куба \(AB\) и \(D_1C_1\) идут в одном направлении и потому параллельны. Прямые \(b\) и \(c\) при этом скрещивающиеся: прямая \(AD\) лежит в плоскости \(ADD_1\) — плоскости грани \(ADD_1A_1\), прямая \(D_1C_1\) пересекает эту плоскость в точке \(D_1\) (точка \(C_1\) ей не принадлежит), а точка \(D_1\) прямой \(AD\) не принадлежит.

2) Возьмём на прямой \(c\) точку \(N\). Прямые \(a\) и \(c\) скрещивающиеся, общих точек они не имеют, поэтому \(N \notin a\). Через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(N\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\). Прямая \(c\) в плоскости \(\gamma\) не лежит — иначе прямые \(a\) и \(c\) лежали бы в одной плоскости и не были бы скрещивающимися, — а общую точку \(N\) с этой плоскостью имеет, поэтому \(c \cap \gamma = N\).

Предположим, что \(b \parallel c\). Прямая \(c\) пересекает плоскость \(\gamma\), а если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает эту плоскость; значит, плоскость \(\gamma\) пересекает и прямая \(b\). По той же причине плоскость \(\gamma\) пересекает и прямая \(a\), ведь \(a \parallel b\). Но прямая \(a\) лежит в плоскости \(\gamma\) и пересекать её не может. Следовательно, прямая \(b\) прямой \(c\) не параллельна.

Значит, прямые \(b\) и \(c\) либо пересекаются, либо скрещиваются. Оба случая возможны.

Возьмём куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и прямые \(a = AB\), \(b = A_1B_1\): они параллельны, так как \(AB\) и \(A_1B_1\) — противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\).

Если \(c = A_1D_1\), то прямые \(a\) и \(c\) скрещивающиеся: прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABB_1\) — плоскости грани \(ABB_1A_1\), прямая \(A_1D_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A_1\) (точка \(D_1\) ей не принадлежит), а точка \(A_1\) прямой \(AB\) не принадлежит. Прямые \(b\) и \(c\) при этом пересекаются в точке \(A_1\).

Если \(c = DD_1\), то прямые \(a\) и \(c\) скрещивающиеся: прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), прямая \(DD_1\) пересекает эту плоскость в точке \(D\), а точка \(D\) прямой \(AB\) не принадлежит. Прямые \(b\) и \(c\) при этом тоже скрещивающиеся: прямая \(A_1B_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\) — плоскости верхней грани куба, прямая \(DD_1\) пересекает эту плоскость в точке \(D_1\), а точка \(D_1\) прямой \(A_1B_1\) не принадлежит.

Ответ: 1) прямые \(b\) и \(c\) пересекаются или скрещиваются; 2) прямые \(b\) и \(c\) пересекаются или скрещиваются.