Страница 28 номер 3.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана пирамида \(SABCD\) (рис. 3.36). Постройте линию пересечения плоскостей \(ASB\) и \(CSD\).
Точка \(S\) принадлежит и плоскости \(ASB\), и плоскости \(CSD\). Эти плоскости различны: если бы они совпали, то все пять вершин пирамиды лежали бы в одной плоскости, чего у пирамиды быть не может. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(ASB\) и \(CSD\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(S\).
Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости основания, тогда по аксиоме А4 прямые \(AB\) и \(CD\) принадлежат плоскости основания. На рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Поскольку \(AB \subset ASB\), то \(X \in ASB\); поскольку \(CD \subset CSD\), то \(X \in CSD\). Значит, точки \(S\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(ASB\) и \(CSD\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(SX\).
Ответ: прямая \(SX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(CD\), является линией пересечения плоскостей \(ASB\) и \(CSD\).
Дана пирамида \(SABCD\) (рис. 3.36). Постройте линию пересечения плоскостей \(ASB\) и \(CSD\).
Точка \(S\) принадлежит и плоскости \(ASB\), и плоскости \(CSD\). Эти плоскости различны: если бы они совпали, то все пять вершин пирамиды лежали бы в одной плоскости, чего у пирамиды быть не может. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(ASB\) и \(CSD\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(S\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку этих плоскостей.
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости основания, тогда по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости основания. Аналогично прямая \(CD\) принадлежит плоскости основания. Прямые \(AB\) и \(CD\) лежат в одной плоскости, и на рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Поскольку \(AB \subset ASB\), то \(X \in ASB\). Поскольку \(CD \subset CSD\), то \(X \in CSD\). Значит, точки \(S\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(ASB\) и \(CSD\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(SX\).
Ответ: прямая \(SX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(CD\), является линией пересечения плоскостей \(ASB\) и \(CSD\).
