Страница 28 номер 3.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) принадлежит грани \(ASB\) тетраэдра \(SABC\), точка \(K\) — грани \(BSC\) (рис. 3.34). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
Точки \(S\) и \(M\) принадлежат плоскости грани \(ASB\), тогда по аксиоме А4 прямая \(SM\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(SM\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(M_1\). Аналогично прямая \(SK\) принадлежит плоскости грани \(BSC\); пусть она пересекает ребро \(BC\) в точке \(K_1\).
Точки \(S\), \(M_1\) и \(K_1\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость. По аксиоме А4 ей принадлежат прямые \(SM_1\) и \(SK_1\), а значит, и точки \(M\) и \(K\).
Прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) лежат в плоскости \(SM_1K_1\), поэтому они или параллельны, или пересекаются; точки \(M\) и \(K\) взяты так, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точки \(M_1\) и \(K_1\) принадлежат плоскости \(ABC\), тогда по аксиоме А4 прямая \(M_1K_1\) принадлежит плоскости \(ABC\), а вместе с ней и точка \(X\). Точка \(M\) плоскости \(ABC\) не принадлежит, поэтому прямая \(MK\) не принадлежит плоскости \(ABC\) и имеет с ней не более одной общей точки. Следовательно, прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\).
Ответ: прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\) — точке пересечения прямых \(MK\) и \(M_1K_1\), где \(M_1\) и \(K_1\) — точки пересечения прямых \(SM\) и \(SK\) с рёбрами \(AB\) и \(BC\) соответственно.
Точка \(M\) принадлежит грани \(ASB\) тетраэдра \(SABC\), точка \(K\) — грани \(BSC\) (рис. 3.34). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
Точки \(S\) и \(M\) принадлежат плоскости грани \(ASB\), тогда по аксиоме А4 прямая \(SM\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(SM\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(M_1\). Точки \(S\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(BSC\), поэтому прямая \(SK\) принадлежит этой плоскости; пусть прямая \(SK\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(K_1\).
Точки \(S\), \(M_1\) и \(K_1\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость и притом только одна. Точки \(S\) и \(M_1\) принадлежат этой плоскости, значит, по аксиоме А4 ей принадлежит вся прямая \(SM_1\), а вместе с ней и точка \(M\). Аналогично точка \(K\) принадлежит плоскости \(SM_1K_1\).
Прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) лежат в плоскости \(SM_1K_1\), поэтому они или параллельны, или пересекаются. Точки \(M\) и \(K\) взяты так, что эти прямые пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точки \(M_1\) и \(K_1\) принадлежат плоскости \(ABC\), тогда по аксиоме А4 прямая \(M_1K_1\) принадлежит плоскости \(ABC\). Точка \(X\) лежит на прямой \(M_1K_1\), поэтому \(X \in ABC\). Точка \(X\) лежит и на прямой \(MK\). Точка \(M\) плоскости \(ABC\) не принадлежит, поэтому прямая \(MK\) не принадлежит плоскости \(ABC\) и имеет с ней не более одной общей точки. Следовательно, прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\).
Ответ: прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\) — точке пересечения прямых \(MK\) и \(M_1K_1\), где \(M_1\) и \(K_1\) — точки пересечения прямых \(SM\) и \(SK\) с рёбрами \(AB\) и \(BC\) соответственно.
