Страница 30 номер 3.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 3.48). На боковых рёбрах \(MB\) и \(MC\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на продолжении ребра \(MA\) за точку \(A\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(EFK\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости \(MBC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(EF\) принадлежит этой плоскости; ей принадлежит и прямая \(BC\). Пусть прямая \(EF\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(P\); эта точка лежит на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\). Поскольку \(BC \subset ABC\), то \(P \in ABC\); поскольку \(EF \subset EFK\), то \(P \in EFK\).
Точка \(K\) лежит на прямой \(MA\), а точка \(E\) — на прямой \(MB\), поэтому точки \(E\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MAB\); аналогично прямые \(EK\) и \(AB\) лежат в этой плоскости. Пусть они пересекаются в точке \(N\). Поскольку \(AB \subset ABC\), то \(N \in ABC\); поскольку \(EK \subset EFK\), то \(N \in EFK\).
Значит, точки \(N\) и \(P\) являются общими для плоскости основания \(ABC\) и секущей плоскости, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(NP\). Точка \(N\) лежит на ребре \(AB\); пусть прямая \(NP\) пересекает ребро \(CD\) в точке \(R\). Тогда секущая плоскость пересекает основание \(ABCD\) по отрезку \(NR\), грань \(MAB\) — по отрезку \(NE\), грань \(MBC\) — по отрезку \(EF\), а грань \(MCD\) — по отрезку \(FR\).
Значит, четырёхугольник \(NEFR\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(NEFR\) — искомое сечение.
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 3.48). На боковых рёбрах \(MB\) и \(MC\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на продолжении ребра \(MA\) за точку \(A\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(EFK\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости \(MBC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(EF\) принадлежит этой плоскости; прямая \(BC\) также принадлежит плоскости \(MBC\). Пусть прямая \(EF\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(P\); эта точка лежит на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\). Поскольку \(BC \subset ABC\), то \(P \in ABC\). Поскольку \(EF \subset EFK\), то \(P \in EFK\).
Точка \(K\) лежит на прямой \(MA\), поэтому точки \(E\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MAB\) (\(E \in MB\)). Значит, прямая \(EK\) принадлежит плоскости \(MAB\); прямая \(AB\) также принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(EK\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(N\). Поскольку \(AB \subset ABC\), то \(N \in ABC\). Поскольку \(EK \subset EFK\), то \(N \in EFK\).
Значит, точки \(N\) и \(P\) являются общими для плоскости основания \(ABC\) и секущей плоскости. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(NP\).
Точка \(N\) лежит на ребре \(AB\); пусть прямая \(NP\) пересекает ребро \(CD\) в точке \(R\). Тогда секущая плоскость пересекает основание \(ABCD\) по отрезку \(NR\), грань \(MAB\) — по отрезку \(NE\), грань \(MBC\) — по отрезку \(EF\), а грань \(MCD\) — по отрезку \(FR\).
Значит, четырёхугольник \(NEFR\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(NEFR\) — искомое сечение.
