Страница 43 номер 4.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Верно ли утверждение: 1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку; 2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости; 3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются; 4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?
1) Утверждение неверно.
У куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) прямая \(DC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(DC\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(DC\) скрещивающиеся. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, значит, параллельными они не являются. Общей точки у них тоже нет: будь у них общая точка, через две пересекающиеся прямые проходила бы плоскость и прямые лежали бы в одной плоскости.
2) Утверждение верно. Скрещивающимися называют две прямые, которые не лежат в одной плоскости. Значит, если две прямые не скрещивающиеся, то плоскость, содержащая их обе, существует, то есть эти прямые лежат в одной плоскости.
3) Утверждение неверно. Две прямые, лежащие в одной плоскости, могут общих точек не иметь — тогда они параллельны. Например, в плоскости \(\alpha\) возьмём прямые \(a\) и \(b\), не имеющие общих точек: они лежат в одной плоскости, но не пересекаются.
4) Утверждение верно. Пусть две прямые не пересекаются и не параллельны. Если бы они лежали в одной плоскости, то, не имея общих точек, они были бы параллельными, а это не так. Значит, в одной плоскости они не лежат, то есть по определению являются скрещивающимися.
Ответ: 1) неверно: скрещивающиеся прямые не параллельны и общей точки не имеют; 2) верно; 3) неверно: две прямые одной плоскости могут быть параллельными; 4) верно.
Верно ли утверждение: 1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку; 2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости; 3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются; 4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?
1) Утверждение «две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку» неверно.
Возьмём куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и прямые \(AA_1\) и \(DC\). Прямая \(DC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(DC\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(DC\) скрещивающиеся. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, значит, параллельными они не являются. Общей точки у них тоже нет: будь у них общая точка, через две пересекающиеся прямые проходила бы плоскость и прямые лежали бы в одной плоскости.
2) Утверждение «две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости» верно.
Скрещивающимися называют две прямые, которые не лежат в одной плоскости. Значит, если две прямые не скрещивающиеся, то плоскость, содержащая их обе, существует, то есть эти прямые лежат в одной плоскости.
3) Утверждение «две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются» неверно.
Две прямые, лежащие в одной плоскости, могут общих точек не иметь — тогда они параллельны. Например, в плоскости \(\alpha\) возьмём прямые \(a\) и \(b\), не имеющие общих точек: они лежат в одной плоскости, но не пересекаются.
4) Утверждение «две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны» верно.
Пусть две прямые не пересекаются и не параллельны. Если бы они лежали в одной плоскости, то, не имея общих точек, они были бы параллельными, а это не так. Значит, в одной плоскости они не лежат, то есть по определению являются скрещивающимися.
Ответ: 1) неверно: скрещивающиеся прямые не параллельны и общей точки не имеют; 2) верно; 3) неверно: две прямые одной плоскости могут быть параллельными; 4) верно.
