Страница 30 номер 3.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(CC_1\) призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечена точка \(E\) (рис. 3.50). Постройте сечение призмы плоскостью \(BA_1E\).
Точки \(B\) и \(A_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABB_1\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(BA_1\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(BA_1\). Аналогично точки \(B\) и \(E\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(BCC_1\) (\(E \in CC_1\)), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(BE\).
Прямые \(BE\) и \(B_1C_1\) лежат в плоскости \(BCC_1\). Пусть прямая \(BE\) пересекает прямую \(B_1C_1\) в точке \(F\); эта точка лежит на продолжении ребра \(B_1C_1\) за точку \(C_1\). Поскольку \(B_1C_1 \subset A_1B_1C_1\), то \(F \in A_1B_1C_1\). Поскольку \(BE \subset BA_1E\), то \(F \in BA_1E\).
Значит, точки \(A_1\) и \(F\) являются общими для плоскостей \(A_1B_1C_1\) и \(BA_1E\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(A_1F\). Пусть прямая \(A_1F\) пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(G\). Тогда секущая плоскость пересекает верхнее основание по отрезку \(A_1G\), а грань \(CDD_1C_1\) — по отрезку \(GE\).
Значит, четырёхугольник \(BA_1GE\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(BA_1GE\) — искомое сечение.
На ребре \(CC_1\) призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечена точка \(E\) (рис. 3.50). Постройте сечение призмы плоскостью \(BA_1E\).
Точки \(B\) и \(A_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABB_1\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(BA_1\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(BA_1\).
Аналогично точки \(B\) и \(E\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(BCC_1\) (\(E \in CC_1\)), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(BE\).
Секущая плоскость и плоскость верхнего основания \(A_1B_1C_1\) имеют общую точку \(A_1\). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(A_1\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку плоскостей \(A_1B_1C_1\) и \(BA_1E\).
Прямые \(BE\) и \(B_1C_1\) лежат в плоскости \(BCC_1\). Пусть прямая \(BE\) пересекает прямую \(B_1C_1\) в точке \(F\); эта точка лежит на продолжении ребра \(B_1C_1\) за точку \(C_1\). Поскольку \(B_1C_1 \subset A_1B_1C_1\), то \(F \in A_1B_1C_1\). Поскольку \(BE \subset BA_1E\), то \(F \in BA_1E\).
Значит, точки \(A_1\) и \(F\) являются общими для плоскостей \(A_1B_1C_1\) и \(BA_1E\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(A_1F\).
Пусть прямая \(A_1F\) пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(G\). Тогда секущая плоскость пересекает верхнее основание по отрезку \(A_1G\), а грань \(CDD_1C_1\) — по отрезку \(GE\).
Значит, четырёхугольник \(BA_1GE\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(BA_1GE\) — искомое сечение.
