Страницы 42-43 номер 4.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 4.15). Укажите взаимное расположение прямых:
1) \(BC\) и \(A_1C\);
2) \(AB\) и \(C_1D_1\);
3) \(BD\) и \(CC_1\);
4) \(AB_1\) и \(DC_1\);
5) \(DC_1\) и \(BB_1\);
6) \(AA_1\) и \(CC_1\).
1) Прямые \(BC\) и \(A_1C\) пересекаются: у них есть общая точка — вершина \(C\).
2) Рёбра \(AB\), \(DC\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\) параллелепипеда идут в одном направлении, поэтому они равны и параллельны между собой; значит, прямые \(AB\) и \(C_1D_1\) параллельны.
3) Точки \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BD\) лежит в плоскости \(ABC\). Точка \(C\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(C_1\) ей не принадлежит, поэтому \(CC_1 \cap ABC = C\). Точка \(C\) прямой \(BD\) не принадлежит: \(BD\) — диагональ прямоугольника \(ABCD\), а \(C\) — его вершина. По признаку скрещивающихся прямых прямые \(BD\) и \(CC_1\) скрещивающиеся.
4) Рёбра \(AD\) и \(B_1C_1\) идут в одном направлении, поэтому они равны и параллельны. Через них проходит плоскость и притом только одна; в ней лежат все четыре точки \(A\), \(D\), \(C_1\), \(B_1\). Четырёхугольник \(ADC_1B_1\) — параллелограмм, так как его стороны \(AD\) и \(B_1C_1\) равны и параллельны. Значит, прямые \(AB_1\) и \(DC_1\) параллельны как противоположные стороны этого параллелограмма.
5) Точки \(B\) и \(B_1\) принадлежат плоскости \(BCC_1\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BB_1\) лежит в этой плоскости. Точка \(C_1\) принадлежит плоскости \(BCC_1\), а точка \(D\) ей не принадлежит, поэтому \(DC_1 \cap BCC_1 = C_1\). Точка \(C_1\) прямой \(BB_1\) не принадлежит. По признаку скрещивающихся прямых прямые \(DC_1\) и \(BB_1\) скрещивающиеся.
6) Прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны: боковые рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) идут в одном направлении, поэтому они равны и параллельны между собой.
Ответ: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) скрещивающиеся; 4) параллельны; 5) скрещивающиеся; 6) параллельны.
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 4.15). Укажите взаимное расположение прямых:
1) \(BC\) и \(A_1C\);
2) \(AB\) и \(C_1D_1\);
3) \(BD\) и \(CC_1\);
4) \(AB_1\) и \(DC_1\);
5) \(DC_1\) и \(BB_1\);
6) \(AA_1\) и \(CC_1\).
1) Прямые \(BC\) и \(A_1C\) пересекаются: у них есть общая точка — вершина \(C\).
2) Прямые \(AB\) и \(C_1D_1\) параллельны. У прямоугольного параллелепипеда рёбра, идущие в одном направлении, равны и параллельны между собой; в одном направлении идут рёбра \(AB\), \(DC\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\), поэтому \(AB \parallel C_1D_1\).
3) Прямые \(BD\) и \(CC_1\) скрещивающиеся. Точки \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BD\) лежит в плоскости \(ABC\). Точка \(C\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(C_1\) ей не принадлежит, поэтому \(CC_1 \cap ABC = C\). Точка \(C\) прямой \(BD\) не принадлежит: \(BD\) — диагональ прямоугольника \(ABCD\), а \(C\) — его вершина. По признаку скрещивающихся прямых прямые \(BD\) и \(CC_1\) скрещивающиеся.
4) Прямые \(AB_1\) и \(DC_1\) параллельны. Рёбра \(AD\) и \(B_1C_1\) параллелепипеда идут в одном направлении, поэтому они равны и параллельны. Через параллельные прямые \(AD\) и \(B_1C_1\) проходит плоскость и притом только одна; в этой плоскости лежат все четыре точки \(A\), \(D\), \(C_1\), \(B_1\). Четырёхугольник \(ADC_1B_1\) — параллелограмм, так как его стороны \(AD\) и \(B_1C_1\) равны и параллельны. Значит, \(AB_1 \parallel DC_1\) как противоположные стороны этого параллелограмма.
5) Прямые \(DC_1\) и \(BB_1\) скрещивающиеся. Точки \(B\) и \(B_1\) принадлежат плоскости \(BCC_1\) — плоскости грани \(BCC_1B_1\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BB_1\) лежит в этой плоскости. Точка \(C_1\) принадлежит плоскости \(BCC_1\), а точка \(D\) ей не принадлежит, поэтому \(DC_1 \cap BCC_1 = C_1\). Точка \(C_1\) прямой \(BB_1\) не принадлежит. По признаку скрещивающихся прямых прямые \(DC_1\) и \(BB_1\) скрещивающиеся.
6) Прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны: боковые рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) прямоугольного параллелепипеда идут в одном направлении, поэтому они равны и параллельны между собой.
Ответ: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) скрещивающиеся; 4) параллельны; 5) скрещивающиеся; 6) параллельны.
