Страница 28 номер 3.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана пирамида \(SABCDE\) (рис. 3.37). Постройте линию пересечения плоскостей \(ASE\) и \(BSC\).
Точка \(S\) принадлежит и плоскости \(ASE\), и плоскости \(BSC\). Эти плоскости различны: если бы они совпали, то точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(E\) лежали бы в одной плоскости с вершиной \(S\), чего у пирамиды быть не может. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(ASE\) и \(BSC\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(S\).
Точки \(A\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ASE\), тогда по аксиоме А4 прямая \(AE\) принадлежит плоскости \(ASE\); аналогично прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(BSC\). Прямые \(AE\) и \(BC\) содержат стороны основания, поэтому обе лежат в плоскости основания, и на рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точка \(X\) лежит на прямых \(AE\) и \(BC\), поэтому \(X \in ASE\) и \(X \in BSC\). Значит, точки \(S\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(ASE\) и \(BSC\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(SX\).
Ответ: прямая \(SX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(AE\) и \(BC\), является линией пересечения плоскостей \(ASE\) и \(BSC\).
Дана пирамида \(SABCDE\) (рис. 3.37). Постройте линию пересечения плоскостей \(ASE\) и \(BSC\).
Точка \(S\) принадлежит и плоскости \(ASE\), и плоскости \(BSC\). Эти плоскости различны: если бы они совпали, то точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(E\) лежали бы в одной плоскости с вершиной \(S\), чего у пирамиды быть не может. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(ASE\) и \(BSC\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(S\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку этих плоскостей.
Точки \(A\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ASE\), тогда по аксиоме А4 прямая \(AE\) принадлежит плоскости \(ASE\). Аналогично прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(BSC\). Прямые \(AE\) и \(BC\) содержат стороны основания, поэтому обе лежат в плоскости основания, и на рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Поскольку \(AE \subset ASE\), то \(X \in ASE\). Поскольку \(BC \subset BSC\), то \(X \in BSC\). Значит, точки \(S\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(ASE\) и \(BSC\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(SX\).
Ответ: прямая \(SX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(AE\) и \(BC\), является линией пересечения плоскостей \(ASE\) и \(BSC\).
