Страница 42 номер 4.1, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 4.13). Назовите его рёбра: 1) параллельные ребру \(CD\); 2) скрещивающиеся с ребром \(CD\).
1) У куба рёбра, идущие в одном направлении, равны и параллельны между собой. В одном направлении с ребром \(CD\) идут рёбра \(AB\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\), поэтому каждое из них параллельно ребру \(CD\).
2) Кроме самого ребра \(CD\), у куба есть ещё одиннадцать рёбер. Рёбра \(BC\) и \(CC_1\) проходят через вершину \(C\), а рёбра \(AD\) и \(DD_1\) — через вершину \(D\), поэтому каждое из этих четырёх рёбер пересекается с ребром \(CD\); рёбра \(AB\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\) ребру \(CD\) параллельны. Значит, скрещивающимися с ребром \(CD\) могут быть только рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\).
Прямая \(CD\) лежит в плоскости \(ABC\) — в плоскости нижней грани куба. Точка \(A\) принадлежит этой плоскости, а точка \(A_1\) ей не принадлежит, поэтому \(AA_1 \cap ABC = A\). Точка \(A\) прямой \(CD\) не принадлежит, значит, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(CD\) скрещивающиеся. Аналогично \(BB_1 \cap ABC = B\) и \(B \notin CD\), поэтому прямые \(BB_1\) и \(CD\) тоже скрещивающиеся.
Прямая \(CD\) лежит и в плоскости \(CDD_1\) — в плоскости грани \(CDD_1C_1\). Точка \(D_1\) принадлежит этой плоскости, а точка \(A_1\) ей не принадлежит, поэтому \(A_1D_1 \cap CDD_1 = D_1\), причём \(D_1 \notin CD\); значит, прямые \(A_1D_1\) и \(CD\) скрещивающиеся. Аналогично \(B_1C_1 \cap CDD_1 = C_1\) и \(C_1 \notin CD\), поэтому прямые \(B_1C_1\) и \(CD\) скрещивающиеся.
Ответ: 1) ребру \(CD\) параллельны рёбра \(AB\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\); 2) с ребром \(CD\) скрещиваются рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 4.13). Назовите его рёбра: 1) параллельные ребру \(CD\); 2) скрещивающиеся с ребром \(CD\).
1) Ребру \(CD\) параллельны рёбра \(AB\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\).
У куба рёбра, идущие в одном направлении, равны и параллельны между собой. В одном направлении с ребром \(CD\) идут рёбра \(AB\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\), поэтому каждое из них параллельно ребру \(CD\). В двух случаях это видно прямо по граням: \(AB\) и \(CD\) — противоположные стороны квадрата \(ABCD\), а \(C_1D_1\) и \(CD\) — противоположные стороны квадрата \(CDD_1C_1\).
2) С ребром \(CD\) скрещиваются рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\).
Кроме самого ребра \(CD\), у куба есть ещё одиннадцать рёбер. Рёбра \(BC\) и \(CC_1\) проходят через вершину \(C\), а рёбра \(AD\) и \(DD_1\) — через вершину \(D\), поэтому каждое из этих четырёх рёбер пересекается с ребром \(CD\); рёбра \(AB\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\) ребру \(CD\) параллельны. Значит, скрещивающимися с ребром \(CD\) могут быть только рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\).
Прямая \(CD\) лежит в плоскости \(ABC\) — в плоскости нижней грани куба. Точка \(A\) принадлежит этой плоскости, а точка \(A_1\) ей не принадлежит, поэтому \(AA_1 \cap ABC = A\). Точка \(A\) прямой \(CD\) не принадлежит, значит, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(CD\) скрещивающиеся. Аналогично \(BB_1 \cap ABC = B\) и \(B \notin CD\), поэтому прямые \(BB_1\) и \(CD\) тоже скрещивающиеся.
Прямая \(CD\) лежит и в плоскости \(CDD_1\) — в плоскости грани \(CDD_1C_1\). Точка \(D_1\) принадлежит этой плоскости, а точка \(A_1\) ей не принадлежит, поэтому \(A_1D_1 \cap CDD_1 = D_1\), причём \(D_1 \notin CD\); значит, прямые \(A_1D_1\) и \(CD\) скрещивающиеся. Аналогично \(B_1C_1 \cap CDD_1 = C_1\) и \(C_1 \notin CD\), поэтому прямые \(B_1C_1\) и \(CD\) скрещивающиеся.
Ответ: 1) ребру \(CD\) параллельны рёбра \(AB\), \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\); 2) с ребром \(CD\) скрещиваются рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\).
