Страница 32 номер 3.40, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SB\), \(SC\) и \(SD\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) так, что \(SM : MB = 3 : 2\), \(SN : NC = 1 : 2\) и \(SK : KD = 1 : 3\). 1) Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\). 2) В каком отношении, считая от вершины \(S\), плоскость \(MNK\) делит ребро \(SA\)?
1) Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) параллелограмма \(ABCD\). Точки \(S\) и \(O\) принадлежат плоскости \(SAC\) (так как \(O \in AC\)) и плоскости \(SBD\) (так как \(O \in BD\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(SO\) принадлежит обеим этим плоскостям.
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(SBD\) (\(M \in SB\), \(K \in SD\)), значит, прямая \(MK\) принадлежит этой плоскости. В треугольнике \(SBD\) отрезок \(MK\) соединяет точку стороны \(SB\) с точкой стороны \(SD\), а отрезок \(SO\) — вершину \(S\) с серединой стороны \(BD\), поэтому эти отрезки пересекаются. Пусть \(P\) — точка их пересечения.
Точка \(P\) лежит на прямой \(MK\), поэтому принадлежит секущей плоскости \(MNK\); она лежит также на прямой \(SO\), поэтому принадлежит плоскости \(SAC\). Точка \(N\) принадлежит и секущей плоскости, и плоскости \(SAC\) (так как \(N \in SC\)). Значит, точки \(N\) и \(P\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(SAC\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(NP\).
Пусть прямая \(NP\) пересекает ребро \(SA\) в точке \(L\); эта точка тоже принадлежит секущей плоскости. Каждая грань \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\) и \(SAD\) содержит по две из точек \(L\), \(M\), \(N\), \(K\), а все они принадлежат секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эти грани соответственно по отрезкам \(LM\), \(MN\), \(NK\) и \(KL\).
Значит, четырёхугольник \(LMNK\) — искомое сечение.
2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина отрезка \(BD\) и середина отрезка \(AC\).
Рассмотрим треугольник \(SBD\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SB\); пусть она пересекает сторону \(SD\) в точке \(E\). Отрезок \(OE\) — средняя линия треугольника \(BSD\), поэтому \(E\) — середина стороны \(SD\) и \(OE = \dfrac{1}{2}SB\).
Так как \(SK : KD = 1 : 3\), то \(SK = \dfrac{1}{4}SD\), а \(SE = \dfrac{1}{2}SD\), поэтому \(KE = SE - SK = \dfrac{1}{4}SD = SK\).
Пусть прямая \(MK\) пересекает прямую \(OE\) в точке \(G\). Треугольники \(KSM\) и \(KEG\) равны: \(KS = KE\), углы при вершине \(K\) вертикальные, а \(\angle KSM = \angle KEG\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(SB\) и \(OE\) и секущей \(SD\). Отсюда \(EG = SM\).
Так как \(SM : MB = 3 : 2\), то \(SM = \dfrac{3}{5}SB\), а значит, и \(EG = \dfrac{3}{5}SB\). Точка \(E\) лежит между точками \(O\) и \(G\), поэтому \[OG = OE + EG = \frac{1}{2}SB + \frac{3}{5}SB = \frac{11}{10}SB.\]
Прямые \(SM\) и \(OG\) параллельны, а углы при вершине \(P\) вертикальные, поэтому треугольники \(SPM\) и \(OPG\) подобны и \(\dfrac{SP}{PO} = \dfrac{SM}{OG} = \dfrac{6}{11}\).
Рассмотрим треугольник \(SAC\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SA\); пусть она пересекает сторону \(SC\) в точке \(F\). Как и выше, \(F\) — середина стороны \(SC\) и \(OF = \dfrac{1}{2}SA\).
Так как \(SN : NC = 1 : 2\), то \(SN = \dfrac{1}{3}SC\), а \(SF = \dfrac{1}{2}SC\), поэтому \(NF = SF - SN = \dfrac{1}{6}SC\) и \(SN : NF = 2 : 1\).
Пусть прямая \(NL\) пересекает прямую \(OF\) в точке \(H\). Треугольники \(NSL\) и \(NFH\) подобны (прямые \(SA\) и \(OF\) параллельны, углы при вершине \(N\) вертикальные) с коэффициентом \(SN : NF = 2 : 1\), поэтому \(FH = \dfrac{1}{2}SL\). Точка \(F\) лежит между точками \(O\) и \(H\), поэтому \(OH = OF + FH = \dfrac{1}{2}SA + \dfrac{1}{2}SL\).
Прямые \(SL\) и \(OH\) параллельны, углы при вершине \(P\) вертикальные, поэтому треугольники \(SPL\) и \(OPH\) подобны и \(\dfrac{SL}{OH} = \dfrac{SP}{PO} = \dfrac{6}{11}\), то есть \(11 \cdot SL = 6 \cdot OH\). Подставив \(OH = \dfrac{1}{2}SA + \dfrac{1}{2}SL\), получаем \(11 \cdot SL = 3 \cdot SA + 3 \cdot SL\), откуда \(8 \cdot SL = 3 \cdot SA\) и \(SL = \dfrac{3}{8}SA\). Значит, \(SL : LA = 3 : 5\).
Ответ: 1) четырёхугольник \(LMNK\) — искомое сечение; 2) \(SL : LA = 3 : 5\).
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SB\), \(SC\) и \(SD\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) так, что \(SM : MB = 3 : 2\), \(SN : NC = 1 : 2\) и \(SK : KD = 1 : 3\). 1) Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\). 2) В каком отношении, считая от вершины \(S\), плоскость \(MNK\) делит ребро \(SA\)?
1) Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) параллелограмма \(ABCD\). Точки \(S\) и \(O\) принадлежат плоскости \(SAC\) (так как \(O \in AC\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(SO\) принадлежит плоскости \(SAC\). Точки \(S\) и \(O\) принадлежат и плоскости \(SBD\) (так как \(O \in BD\)), поэтому прямая \(SO\) принадлежит также плоскости \(SBD\).
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(SBD\) (\(M \in SB\), \(K \in SD\)), значит, прямая \(MK\) принадлежит этой плоскости. В треугольнике \(SBD\) отрезок \(MK\) соединяет точку стороны \(SB\) с точкой стороны \(SD\), а отрезок \(SO\) — вершину \(S\) с серединой стороны \(BD\), поэтому эти отрезки пересекаются. Пусть \(P\) — точка их пересечения.
Точка \(P\) лежит на прямой \(MK\), поэтому она принадлежит секущей плоскости \(MNK\); точка \(P\) лежит на прямой \(SO\), поэтому она принадлежит плоскости \(SAC\). Точка \(N\) принадлежит и секущей плоскости, и плоскости \(SAC\) (так как \(N \in SC\)). Значит, точки \(N\) и \(P\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(SAC\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(NP\).
Пусть прямая \(NP\) пересекает ребро \(SA\) в точке \(L\). Точка \(L\) лежит на прямой \(NP\), поэтому принадлежит секущей плоскости. Каждая грань \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\) и \(SAD\) содержит по две из точек \(L\), \(M\), \(N\), \(K\), а все эти точки принадлежат секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эти грани соответственно по отрезкам \(LM\), \(MN\), \(NK\) и \(KL\).
Значит, четырёхугольник \(LMNK\) — искомое сечение.
2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина отрезка \(BD\) и середина отрезка \(AC\).
Рассмотрим треугольник \(SBD\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SB\); пусть она пересекает сторону \(SD\) в точке \(E\). Отрезок \(OE\) — средняя линия треугольника \(BSD\), поэтому \(E\) — середина стороны \(SD\) и \(OE = \dfrac{1}{2}SB\).
Так как \(SK : KD = 1 : 3\), то \(SK = \dfrac{1}{4}SD\), а \(SE = \dfrac{1}{2}SD\). Тогда \(KE = SE - SK = \dfrac{1}{4}SD = SK\), то есть \(K\) — середина отрезка \(SE\).
Пусть прямая \(MK\) пересекает прямую \(OE\) в точке \(G\). Треугольники \(KSM\) и \(KEG\) равны: \(KS = KE\), углы при вершине \(K\) вертикальные, а \(\angle KSM = \angle KEG\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(SB\) и \(OE\) и секущей \(SD\). Отсюда \(EG = SM\).
Так как \(SM : MB = 3 : 2\), то \(SM = \dfrac{3}{5}SB\), а значит, и \(EG = \dfrac{3}{5}SB\). Точка \(E\) лежит между точками \(O\) и \(G\), поэтому \[OG = OE + EG = \frac{1}{2}SB + \frac{3}{5}SB = \frac{11}{10}SB.\]
Прямые \(SM\) и \(OG\) параллельны, а углы при вершине \(P\) вертикальные, поэтому треугольники \(SPM\) и \(OPG\) подобны и \(\dfrac{SP}{PO} = \dfrac{SM}{OG} = \dfrac{6}{11}\). Значит, \(SP = \dfrac{6}{17}SO\).
Рассмотрим теперь треугольник \(SAC\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SA\); пусть она пересекает сторону \(SC\) в точке \(F\). Как и выше, \(F\) — середина стороны \(SC\) и \(OF = \dfrac{1}{2}SA\).
Так как \(SN : NC = 1 : 2\), то \(SN = \dfrac{1}{3}SC\), а \(SF = \dfrac{1}{2}SC\), поэтому \(NF = SF - SN = \dfrac{1}{6}SC\) и \(SN : NF = 2 : 1\).
Пусть прямая \(NL\) пересекает прямую \(OF\) в точке \(H\). Треугольники \(NSL\) и \(NFH\) подобны: углы при вершине \(N\) вертикальные, а \(\angle NSL = \angle NFH\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(SA\) и \(OF\) и секущей \(SC\). Коэффициент подобия равен \(SN : NF = 2 : 1\), поэтому \(FH = \dfrac{1}{2}SL\). Точка \(F\) лежит между точками \(O\) и \(H\), поэтому \(OH = OF + FH = \dfrac{1}{2}SA + \dfrac{1}{2}SL\).
Прямые \(SL\) и \(OH\) параллельны, углы при вершине \(P\) вертикальные, поэтому треугольники \(SPL\) и \(OPH\) подобны и \(\dfrac{SL}{OH} = \dfrac{SP}{PO} = \dfrac{6}{11}\), то есть \(11 \cdot SL = 6 \cdot OH\).
Подставив \(OH = \dfrac{1}{2}SA + \dfrac{1}{2}SL\), получаем \(11 \cdot SL = 3 \cdot SA + 3 \cdot SL\), откуда \(8 \cdot SL = 3 \cdot SA\) и \(SL = \dfrac{3}{8}SA\). Значит, \(SL : LA = 3 : 5\).
Ответ: 1) четырёхугольник \(LMNK\) — искомое сечение; 2) \(SL : LA = 3 : 5\).
