Страница 29 номер 3.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AB\), \(BC\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отмечены соответственно точки \(M\), \(K\) и \(N\) (рис. 3.44). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).
Точки \(M\) и \(K\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(ABC\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MK\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(MK\). Аналогично точки \(K\) и \(N\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(BCD\), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCD\) по отрезку \(KN\).
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(ABC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(MK\) принадлежит этой плоскости; прямая \(AC\) также принадлежит плоскости \(ABC\). Пусть прямая \(MK\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(E\); эта точка лежит на продолжении ребра \(AC\) за точку \(A\). Поскольку \(AC \subset ACD\), то \(E \in ACD\). Поскольку \(MK \subset MNK\), то \(E \in MNK\).
Значит, точки \(N\) и \(E\) являются общими для плоскостей \(ACD\) и \(MNK\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(NE\). Пусть прямая \(NE\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\). Тогда секущая плоскость пересекает грани \(ACD\) и \(ABD\) соответственно по отрезкам \(NP\) и \(PM\).
Значит, четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
На рёбрах \(AB\), \(BC\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отмечены соответственно точки \(M\), \(K\) и \(N\) (рис. 3.44). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).
Точки \(M\) и \(K\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(ABC\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MK\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(MK\).
Аналогично точки \(K\) и \(N\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(BCD\), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCD\) по отрезку \(KN\).
Секущая плоскость \(MNK\) и плоскость \(ACD\) имеют общую точку \(N\). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(N\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку плоскостей \(ACD\) и \(MNK\).
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(ABC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(MK\) принадлежит этой плоскости; прямая \(AC\) также принадлежит плоскости \(ABC\). Пусть прямая \(MK\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(E\); эта точка лежит на продолжении ребра \(AC\) за точку \(A\). Поскольку \(AC \subset ACD\), то \(E \in ACD\). Поскольку \(MK \subset MNK\), то \(E \in MNK\).
Значит, точки \(N\) и \(E\) являются общими для плоскостей \(ACD\) и \(MNK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(NE\).
Пусть прямая \(NE\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\). Тогда секущая плоскость пересекает грани \(ACD\) и \(ABD\) соответственно по отрезкам \(NP\) и \(PM\).
Значит, четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
