Страница 43 номер 4.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(a\), точки \(C\) и \(D\) — прямой \(b\). Каково взаимное расположение прямых \(AC\) и \(BD\)? Ответ обоснуйте.
Прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся, общих точек у них нет, поэтому точка \(C\) прямой \(b\) не принадлежит прямой \(a\). Через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(C\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).
Точка \(A\) принадлежит прямой \(a\), а значит, и плоскости \(\gamma\), которой принадлежит и точка \(C\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\gamma\).
Точка \(D\) плоскости \(\gamma\) не принадлежит: иначе обе точки \(C\) и \(D\) прямой \(b\) принадлежали бы плоскости \(\gamma\), по аксиоме А4 вся прямая \(b\) лежала бы в плоскости \(\gamma\), и прямые \(a\) и \(b\) не были бы скрещивающимися.
Точка \(B\) принадлежит прямой \(a\), а значит, и плоскости \(\gamma\), точка \(D\) плоскости \(\gamma\) не принадлежит, поэтому \(BD \cap \gamma = B\).
Точка \(B\) прямой \(AC\) не принадлежит: иначе прямая \(AC\) содержала бы две точки \(A\) и \(B\) прямой \(a\), а через две точки проходит только одна прямая, поэтому прямая \(AC\) совпала бы с прямой \(a\) и точка \(C\) принадлежала бы прямой \(a\).
Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\gamma\), а прямая \(BD\) пересекает эту плоскость в точке \(B\), не принадлежащей прямой \(AC\). Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(BD\) скрещивающиеся.
Ответ: прямые \(AC\) и \(BD\) — скрещивающиеся.
Прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(a\), точки \(C\) и \(D\) — прямой \(b\). Каково взаимное расположение прямых \(AC\) и \(BD\)? Ответ обоснуйте.
По условию на прямой \(a\) взяты две точки \(A\) и \(B\), а на прямой \(b\) — две точки \(C\) и \(D\), поэтому \(A \ne B\) и \(C \ne D\).
Точка \(C\) не принадлежит прямой \(a\): прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся, поэтому общих точек у них нет, а точка \(C\) принадлежит прямой \(b\). Через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(C\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).
Точка \(A\) принадлежит прямой \(a\), а значит, и плоскости \(\gamma\); точка \(C\) тоже принадлежит плоскости \(\gamma\). По аксиоме А4 прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\gamma\).
Точка \(D\) плоскости \(\gamma\) не принадлежит. Действительно, если бы точка \(D\) принадлежала плоскости \(\gamma\), то обе точки \(C\) и \(D\) прямой \(b\) принадлежали бы плоскости \(\gamma\), и по аксиоме А4 вся прямая \(b\) лежала бы в плоскости \(\gamma\). Тогда прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости и не были бы скрещивающимися.
Точка \(B\) принадлежит прямой \(a\), а значит, и плоскости \(\gamma\), точка \(D\) плоскости \(\gamma\) не принадлежит, поэтому \(BD \cap \gamma = B\).
Точка \(B\) прямой \(AC\) не принадлежит: иначе прямая \(AC\) содержала бы две точки \(A\) и \(B\) прямой \(a\), а через две точки проходит только одна прямая, поэтому прямая \(AC\) совпала бы с прямой \(a\) и точка \(C\) принадлежала бы прямой \(a\).
Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\gamma\), а прямая \(BD\) пересекает эту плоскость в точке \(B\), не принадлежащей прямой \(AC\). Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(BD\) скрещивающиеся.
Ответ: прямые \(AC\) и \(BD\) — скрещивающиеся.
