Страница 32 номер 3.39, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Может ли рисунок 3.56 служить изображением некоторого многогранника \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)?
Предположим, что рисунок изображает многогранник \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — грани, а отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) — рёбра. Тогда гранями, то есть плоскими четырёхугольниками, являются и \(ABB_1A_1\), \(BCC_1B_1\), \(CDD_1C_1\), \(DAA_1D_1\).
Плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) различны: если бы они совпадали, то все восемь вершин лежали бы в одной плоскости, а многогранник — фигура пространственная.
Прямые \(BC\) и \(B_1C_1\) лежат в плоскости грани \(BCC_1B_1\), поэтому они или параллельны, или пересекаются. На рисунке они не параллельны, значит, пересекаются; пусть \(Y\) — их точка пересечения. Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\), а прямая \(B_1C_1\) — плоскости \(A_1B_1C_1\), поэтому точка \(Y\) является общей для этих плоскостей. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) пересекаются по некоторой прямой \(\ell\). Прямой \(\ell\) принадлежат все общие точки этих плоскостей, поэтому \(Y \in \ell\).
Так же пересекаются прямые \(AD\) и \(A_1D_1\), лежащие в плоскости грани \(DAA_1D_1\), и прямые \(CD\) и \(C_1D_1\), лежащие в плоскости грани \(CDD_1C_1\); пусть \(T\) и \(Z\) — их точки пересечения. Каждая из них принадлежит и плоскости \(ABC\), и плоскости \(A_1B_1C_1\), поэтому \(T \in \ell\) и \(Z \in \ell\).
Следовательно, точки \(Y\), \(T\) и \(Z\) обязаны лежать на одной прямой. Построим их, продолжив соответствующие стороны четырёхугольников.
Точки \(Y\) и \(T\) оказались правее четырёхугольника \(ABCD\), а точка \(Z\) — далеко под ним: прямая \(YT\) пересекает прямую \(CD\) выше вершины \(C\), а точка \(Z\) лежит ниже вершины \(D\). Значит, точки \(Y\), \(T\) и \(Z\) на одной прямой не лежат.
Полученное противоречие показывает, что предположение неверно.
Ответ: не может.
Может ли рисунок 3.56 служить изображением некоторого многогранника \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)?
Предположим, что этот рисунок изображает некоторый многогранник \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого четырёхугольники \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — грани, а отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) — рёбра. Тогда гранями являются и четырёхугольники \(ABB_1A_1\), \(BCC_1B_1\), \(CDD_1C_1\), \(DAA_1D_1\), то есть каждый из них плоский.
Плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) различны: если бы они совпадали, то все восемь вершин лежали бы в одной плоскости, а многогранник — фигура пространственная, не все точки которой лежат в одной плоскости.
Прямые \(BC\) и \(B_1C_1\) лежат в плоскости грани \(BCC_1B_1\), поэтому они или параллельны, или пересекаются. На рисунке они не параллельны, значит, пересекаются. Пусть \(Y\) — их точка пересечения. Поскольку прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\), а прямая \(B_1C_1\) — плоскости \(A_1B_1C_1\), точка \(Y\) является общей для этих плоскостей. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) пересекаются по некоторой прямой; обозначим её \(\ell\). Прямой \(\ell\) принадлежат все общие точки этих плоскостей, поэтому \(Y \in \ell\).
Так же прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) лежат в плоскости грани \(DAA_1D_1\); пусть \(T\) — их точка пересечения. Тогда \(T \in ABC\) и \(T \in A_1B_1C_1\), а значит, \(T \in \ell\). Прямые \(CD\) и \(C_1D_1\) лежат в плоскости грани \(CDD_1C_1\); пусть \(Z\) — их точка пересечения. Тогда и \(Z \in \ell\).
Следовательно, точки \(Y\), \(T\) и \(Z\) обязаны лежать на одной прямой. Построим эти точки, продолжив соответствующие стороны четырёхугольников.
Точки \(Y\) и \(T\) оказались правее четырёхугольника \(ABCD\), а точка \(Z\) — далеко под ним. Прямая \(YT\) пересекает прямую \(CD\) выше вершины \(C\), тогда как точка \(Z\) лежит ниже вершины \(D\), поэтому точки \(Y\), \(T\) и \(Z\) на одной прямой не лежат.
Полученное противоречие показывает, что предположение неверно.
Ответ: не может.
