Страница 29 номер 3.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AB\), \(BD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отмечены соответственно точки \(M\), \(K\) и \(N\) (рис. 3.43). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).
Точки \(M\) и \(K\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(ABD\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MK\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABD\) по отрезку \(MK\). Аналогично точки \(K\) и \(N\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(BCD\), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCD\) по отрезку \(KN\).
Точки \(N\) и \(K\) принадлежат плоскости \(BCD\), значит, по аксиоме А4 прямая \(NK\) принадлежит этой плоскости; прямая \(BC\) также принадлежит плоскости \(BCD\). Пусть прямая \(NK\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(E\); эта точка лежит на продолжении ребра \(BC\) за точку \(B\). Поскольку \(BC \subset ABC\), то \(E \in ABC\). Поскольку \(NK \subset MNK\), то \(E \in MNK\).
Значит, точки \(M\) и \(E\) являются общими для плоскостей \(ABC\) и \(MNK\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(ME\). Пусть прямая \(ME\) пересекает ребро \(AC\) в точке \(P\). Тогда секущая плоскость пересекает грани \(ABC\) и \(ACD\) соответственно по отрезкам \(MP\) и \(PN\).
Значит, четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
На рёбрах \(AB\), \(BD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отмечены соответственно точки \(M\), \(K\) и \(N\) (рис. 3.43). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).
Точки \(M\) и \(K\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(ABD\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MK\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABD\) по отрезку \(MK\).
Аналогично точки \(K\) и \(N\) являются общими для плоскости \(MNK\) и плоскости \(BCD\), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCD\) по отрезку \(KN\).
Секущая плоскость \(MNK\) и плоскость \(ABC\) имеют общую точку \(M\). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку плоскостей \(ABC\) и \(MNK\).
Точки \(N\) и \(K\) принадлежат плоскости \(BCD\), значит, по аксиоме А4 прямая \(NK\) принадлежит этой плоскости; прямая \(BC\) также принадлежит плоскости \(BCD\). Пусть прямая \(NK\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(E\); эта точка лежит на продолжении ребра \(BC\) за точку \(B\). Поскольку \(BC \subset ABC\), то \(E \in ABC\). Поскольку \(NK \subset MNK\), то \(E \in MNK\).
Значит, точки \(M\) и \(E\) являются общими для плоскостей \(ABC\) и \(MNK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(ME\).
Пусть прямая \(ME\) пересекает ребро \(AC\) в точке \(P\). Тогда секущая плоскость пересекает грани \(ABC\) и \(ACD\) соответственно по отрезкам \(MP\) и \(PN\).
Значит, четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(MKNP\) — искомое сечение.
