Страница 28 номер 3.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана пирамида \(MABCD\), точка \(K\) принадлежит отрезку \(BD\) (рис. 3.38). Постройте линию пересечения плоскостей \(MCK\) и \(MAB\).
Точка \(M\) принадлежит и плоскости \(MCK\), и плоскости \(MAB\). Эти плоскости различны: если бы они совпали, то точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали бы в одной плоскости с вершиной \(M\), а тогда вершина \(M\) принадлежала бы плоскости основания, чего у пирамиды быть не может. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(MCK\) и \(MAB\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\).
Точка \(K\) лежит на отрезке \(BD\), а точки \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости основания, поэтому по аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит плоскости основания, а вместе с ней и точка \(K\). Значит, прямые \(CK\) и \(AB\) лежат в плоскости основания, и на рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точки \(C\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MCK\), тогда по аксиоме А4 прямая \(CK\) принадлежит этой плоскости, поэтому \(X \in MCK\). Аналогично прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(MAB\), поэтому \(X \in MAB\). Значит, точки \(M\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(MCK\) и \(MAB\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MX\).
Ответ: прямая \(MX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(CK\) и \(AB\), является линией пересечения плоскостей \(MCK\) и \(MAB\).
Дана пирамида \(MABCD\), точка \(K\) принадлежит отрезку \(BD\) (рис. 3.38). Постройте линию пересечения плоскостей \(MCK\) и \(MAB\).
Точка \(M\) принадлежит и плоскости \(MCK\), и плоскости \(MAB\). Эти плоскости различны: если бы они совпали, то точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали бы в одной плоскости с вершиной \(M\), а тогда вершина \(M\) принадлежала бы плоскости основания, чего у пирамиды быть не может. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(MCK\) и \(MAB\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку этих плоскостей.
Точка \(K\) лежит на отрезке \(BD\), а точки \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости основания, поэтому по аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит плоскости основания, а вместе с ней и точка \(K\). Значит, прямые \(CK\) и \(AB\) лежат в плоскости основания, и на рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точки \(C\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MCK\), тогда по аксиоме А4 прямая \(CK\) принадлежит этой плоскости, поэтому \(X \in MCK\). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(MAB\), поэтому прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(MAB\) и \(X \in MAB\). Значит, точки \(M\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(MCK\) и \(MAB\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MX\).
Ответ: прямая \(MX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(CK\) и \(AB\), является линией пересечения плоскостей \(MCK\) и \(MAB\).
