Страница 31 номер 3.37, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(F\), \(M\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ASB\), \(ABC\) и \(CSD\) пирамиды \(SABCD\) (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(FMK\).
Точки \(S\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ASB\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(SF\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(AB\) в точке \(F_1\). Аналогично прямая \(SK\) принадлежит плоскости грани \(CSD\); пусть она пересекает ребро \(CD\) в точке \(K_1\).
Точки \(F\) и \(K\) лежат на прямых \(SF_1\) и \(SK_1\), поэтому точки \(F\), \(K\), \(F_1\) и \(K_1\) лежат в одной плоскости \(SF_1K_1\), а отмечены они так, что прямые \(FK\) и \(F_1K_1\) пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Прямая \(FK\) принадлежит секущей плоскости \(FMK\), поэтому \(X \in FMK\). Точки \(F_1\) и \(K_1\) принадлежат плоскости основания (\(F_1 \in AB\), \(K_1 \in CD\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(F_1K_1\) принадлежит плоскости основания, а значит, ей принадлежит и точка \(X\).
Точка \(M\) принадлежит грани \(ABCD\), то есть лежит в плоскости основания, и принадлежит секущей плоскости. Значит, точки \(M\) и \(X\) являются общими для секущей плоскости и плоскости основания, и эти плоскости пересекаются по прямой \(MX\). Пусть прямая \(MX\) пересекает рёбра \(AB\) и \(CD\) соответственно в точках \(E\) и \(T\); тогда секущая плоскость пересекает основание по отрезку \(ET\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ASB\) и секущей плоскости; пусть прямая \(EF\) пересекает ребро \(SA\) в точке \(P\), тогда секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(EP\). Так же в грани \(CSD\) прямая \(TK\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\), и секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(TQ\). Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости грани \(ASD\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(PQ\).
Значит, четырёхугольник \(EPQT\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(EPQT\) — искомое сечение.
Точки \(F\), \(M\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ASB\), \(ABC\) и \(CSD\) пирамиды \(SABCD\) (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(FMK\).
Точки \(S\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ASB\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(SF\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(SF\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(F_1\). Аналогично прямая \(SK\) принадлежит плоскости грани \(CSD\); пусть она пересекает ребро \(CD\) в точке \(K_1\).
Точка \(F\) лежит на прямой \(SF_1\), а точка \(K\) — на прямой \(SK_1\), поэтому точки \(F\), \(K\), \(F_1\) и \(K_1\) принадлежат плоскости \(SF_1K_1\). Прямые \(FK\) и \(F_1K_1\) лежат в одной плоскости, значит, они или параллельны, или пересекаются. Точки отмечены так, что эти прямые пересекаются; пусть \(X\) — точка их пересечения.
Прямая \(FK\) принадлежит секущей плоскости \(FMK\), поэтому \(X \in FMK\). Точки \(F_1\) и \(K_1\) принадлежат плоскости основания (\(F_1 \in AB\), \(K_1 \in CD\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(F_1K_1\) принадлежит плоскости основания, а значит, точка \(X\) принадлежит плоскости основания.
Точка \(M\) принадлежит грани \(ABCD\), то есть тоже лежит в плоскости основания, и принадлежит секущей плоскости. Значит, точки \(M\) и \(X\) являются общими для секущей плоскости и плоскости основания. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(MX\).
Пусть прямая \(MX\) пересекает рёбра \(AB\) и \(CD\) соответственно в точках \(E\) и \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает основание по отрезку \(ET\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ASB\) и секущей плоскости. Пусть прямая \(EF\) пересекает ребро \(SA\) в точке \(P\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(ASB\) по отрезку \(EP\).
Точки \(T\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(CSD\) и секущей плоскости. Пусть прямая \(TK\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(CSD\) по отрезку \(TQ\).
Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости грани \(ASD\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(PQ\).
Значит, четырёхугольник \(EPQT\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(EPQT\) — искомое сечение.
