Страница 28 номер 3.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AB\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\). Постройте линию пересечения плоскостей \(AFB\) и \(CED\).
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(AFB\), тогда по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит этой плоскости, а вместе с ней и точка \(E\), лежащая на ребре \(AB\); плоскости \(CED\) точка \(E\) принадлежит по её обозначению. Аналогично прямая \(CD\) принадлежит плоскости \(CED\), поэтому точка \(F\) принадлежит и плоскости \(CED\), и плоскости \(AFB\).
Плоскости \(AFB\) и \(CED\) различны: если бы они совпали, то точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали бы в одной плоскости, а вершины тетраэдра в одной плоскости не лежат. Значит, по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и все их общие точки принадлежат этой прямой. Точки \(E\) и \(F\) — общие для плоскостей \(AFB\) и \(CED\), а через две точки проходит единственная прямая. Следовательно, плоскости \(AFB\) и \(CED\) пересекаются по прямой \(EF\).
Ответ: прямая \(EF\) является линией пересечения плоскостей \(AFB\) и \(CED\).
На рёбрах \(AB\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\). Постройте линию пересечения плоскостей \(AFB\) и \(CED\).
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(AFB\), тогда по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит этой плоскости. Точка \(E\) лежит на ребре \(AB\), поэтому \(E \in AFB\). Кроме того, точка \(E\) принадлежит плоскости \(CED\) по её обозначению.
Точки \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости \(CED\), тогда по аксиоме А4 прямая \(CD\) принадлежит этой плоскости. Точка \(F\) лежит на ребре \(CD\), поэтому \(F \in CED\). Кроме того, точка \(F\) принадлежит плоскости \(AFB\).
Плоскости \(AFB\) и \(CED\) различны: если бы они совпали, то точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали бы в одной плоскости, а вершины тетраэдра в одной плоскости не лежат. Значит, по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и все их общие точки принадлежат этой прямой. Точки \(E\) и \(F\) — общие для плоскостей \(AFB\) и \(CED\), а через две точки проходит единственная прямая. Следовательно, плоскости \(AFB\) и \(CED\) пересекаются по прямой \(EF\).
Ответ: прямая \(EF\) является линией пересечения плоскостей \(AFB\) и \(CED\).
