Страница 29 номер 3.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AB\), \(AD\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\), \(F\) и \(M\) (рис. 3.40). Постройте сечение куба плоскостью \(EFM\).
Точки \(E\) и \(F\) являются общими для плоскости основания \(ABC\) и секущей плоскости \(EFM\), поэтому эти плоскости пересекаются по прямой \(EF\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по отрезку \(EF\).
Прямые \(EF\), \(BC\) и \(DC\) лежат в плоскости основания. Пусть прямая \(EF\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(X\), а прямую \(DC\) — в точке \(Y\). Поскольку \(EF \subset EFM\), то \(X \in EFM\) и \(Y \in EFM\).
Точка \(M\) лежит на ребре \(CC_1\), а точка \(X\) — на прямой \(BC\), поэтому обе они являются общими для плоскости \(BCC_1\) и секущей плоскости. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой \(XM\). Пусть прямая \(XM\) пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(G\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(GM\).
Аналогично точки \(Y\) и \(M\) являются общими для плоскостей \(DCC_1\) и \(EFM\), поэтому эти плоскости пересекаются по прямой \(YM\). Пусть прямая \(YM\) пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(H\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(DCC_1D_1\) по отрезку \(MH\).
Точки \(E\) и \(G\) являются общими для плоскости грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости, а точки \(H\) и \(F\) — для плоскости грани \(ADD_1A_1\) и секущей плоскости. Поэтому секущая плоскость пересекает эти грани соответственно по отрезкам \(EG\) и \(HF\).
Значит, пятиугольник \(FEGMH\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(FEGMH\) — искомое сечение.
На рёбрах \(AB\), \(AD\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\), \(F\) и \(M\) (рис. 3.40). Постройте сечение куба плоскостью \(EFM\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости основания \(ABC\): точка \(E\) лежит на ребре \(AB\), точка \(F\) — на ребре \(AD\). Эти же точки принадлежат секущей плоскости \(EFM\). Значит, точки \(E\) и \(F\) являются общими для плоскостей \(ABC\) и \(EFM\), поэтому эти плоскости пересекаются по прямой \(EF\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по отрезку \(EF\).
Прямые \(EF\), \(BC\) и \(DC\) лежат в плоскости основания. Пусть прямая \(EF\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(X\), а прямую \(DC\) — в точке \(Y\). Поскольку \(EF \subset EFM\), то \(X \in EFM\) и \(Y \in EFM\).
Точка \(M\) лежит на ребре \(CC_1\), поэтому \(M\) принадлежит плоскости \(BCC_1\); точка \(X\) лежит на прямой \(BC\), поэтому \(X\) тоже принадлежит плоскости \(BCC_1\). Значит, точки \(X\) и \(M\) являются общими для плоскостей \(BCC_1\) и \(EFM\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(XM\). Пусть прямая \(XM\) пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(G\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(GM\).
Аналогично точки \(Y\) и \(M\) являются общими для плоскостей \(DCC_1\) и \(EFM\), поэтому эти плоскости пересекаются по прямой \(YM\). Пусть прямая \(YM\) пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(H\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(DCC_1D_1\) по отрезку \(MH\).
Точки \(E\) и \(G\) являются общими для плоскости грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости, а точки \(H\) и \(F\) — для плоскости грани \(ADD_1A_1\) и секущей плоскости. Поэтому секущая плоскость пересекает эти грани соответственно по отрезкам \(EG\) и \(HF\).
Значит, пятиугольник \(FEGMH\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(FEGMH\) — искомое сечение.
