Страница 31 номер 3.31, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 3.51). На ребре \(AD\) отметили точку \(E\), на грани \(AMB\) — точку \(F\), на грани \(CMD\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(EFK\).
Точки \(M\) и \(F\) принадлежат плоскости \(AMB\), значит, по аксиоме А4 прямая \(MF\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(AB\) в точке \(F_1\). Аналогично прямая \(MK\) принадлежит плоскости \(CMD\); пусть она пересекает ребро \(CD\) в точке \(K_1\).
Прямые \(MF_1\) и \(MK_1\) пересекаются в точке \(M\), поэтому через них проходит плоскость, и точки \(F\), \(K\), \(F_1\), \(K_1\) принадлежат ей. Значит, прямые \(FK\) и \(F_1K_1\) лежат в одной плоскости, и точки \(F\) и \(K\) взяты так, что эти прямые пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения; как видно на рисунке, она лежит вне пирамиды. Поскольку \(F_1K_1 \subset ABC\), то \(X \in ABC\); поскольку \(FK \subset EFK\), то \(X \in EFK\).
Точка \(E\) принадлежит ребру \(AD\), поэтому \(E \in ABC\); кроме того, \(E \in EFK\). Значит, точки \(E\) и \(X\) являются общими для плоскости основания \(ABC\) и секущей плоскости, и эти плоскости пересекаются по прямой \(EX\). Пусть прямая \(EX\) пересекает ребро \(CD\) в точке \(N\), а прямую \(AB\) — в точке \(W\); точка \(W\) лежит на продолжении ребра \(AB\) за точку \(A\). Тогда секущая плоскость пересекает основание \(ABCD\) по отрезку \(EN\).
Точки \(W\) и \(F\) принадлежат плоскости \(AMB\), значит, прямая \(WF\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает рёбра \(MA\) и \(MB\) соответственно в точках \(S\) и \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(AMB\) по отрезку \(ST\).
Аналогично прямая \(NK\) принадлежит плоскости \(CMD\); пусть она пересекает ребро \(MC\) в точке \(Q\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(CMD\) по отрезку \(NQ\), грань \(BMC\) — по отрезку \(QT\), а грань \(AMD\) — по отрезку \(SE\).
Значит, пятиугольник \(ENQTS\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(ENQTS\) — искомое сечение.
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 3.51). На ребре \(AD\) отметили точку \(E\), на грани \(AMB\) — точку \(F\), на грани \(CMD\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(EFK\).
Точки \(M\) и \(F\) принадлежат плоскости \(AMB\), значит, по аксиоме А4 прямая \(MF\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(MF\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(F_1\).
Аналогично точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(CMD\); пусть прямая \(MK\) пересекает ребро \(CD\) в точке \(K_1\).
Прямые \(MF_1\) и \(MK_1\) пересекаются в точке \(M\), поэтому через них проходит плоскость, и точки \(F\), \(K\), \(F_1\), \(K_1\) принадлежат этой плоскости. Значит, прямые \(FK\) и \(F_1K_1\) лежат в одной плоскости, и точки \(F\) и \(K\) взяты так, что эти прямые пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения; как видно на рисунке, она лежит вне пирамиды. Поскольку \(F_1K_1 \subset ABC\), то \(X \in ABC\). Поскольку \(FK \subset EFK\), то \(X \in EFK\).
Точка \(E\) принадлежит ребру \(AD\), поэтому \(E \in ABC\); кроме того, \(E \in EFK\). Значит, точки \(E\) и \(X\) являются общими для плоскости основания \(ABC\) и секущей плоскости, и эти плоскости пересекаются по прямой \(EX\).
Пусть прямая \(EX\) пересекает ребро \(CD\) в точке \(N\), а прямую \(AB\) — в точке \(W\); точка \(W\) лежит на продолжении ребра \(AB\) за точку \(A\). Тогда секущая плоскость пересекает основание \(ABCD\) по отрезку \(EN\).
Точки \(W\) и \(F\) принадлежат плоскости \(AMB\), значит, прямая \(WF\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(WF\) пересекает рёбра \(MA\) и \(MB\) соответственно в точках \(S\) и \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(AMB\) по отрезку \(ST\).
Точки \(N\) и \(K\) принадлежат плоскости \(CMD\), значит, прямая \(NK\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(NK\) пересекает ребро \(MC\) в точке \(Q\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(CMD\) по отрезку \(NQ\), грань \(BMC\) — по отрезку \(QT\), а грань \(AMD\) — по отрезку \(SE\).
Значит, пятиугольник \(ENQTS\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(ENQTS\) — искомое сечение.
