Страница 31 номер 3.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(BC\), \(CA\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отметили точки \(M\), \(N\) и \(P\) соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей \(ABP\), \(ADM\) и \(BDN\).
Точки \(B\) и \(P\) принадлежат плоскости \(BCD\) (\(P \in CD\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BP\) принадлежит этой плоскости. Аналогично прямая \(DM\) принадлежит плоскости \(BCD\). Отрезки \(BP\) и \(DM\) соединяют вершины треугольника \(BCD\) с точками, взятыми на противолежащих сторонах, поэтому они пересекаются. Пусть \(Q\) — точка их пересечения.
Так же прямые \(AP\) и \(DN\) принадлежат плоскости \(ACD\) и пересекаются, соединяя вершины треугольника \(ACD\) с точками противолежащих сторон. Пусть \(R\) — точка их пересечения.
Точки \(B\) и \(P\) принадлежат плоскости \(ABP\), поэтому \(BP \subset ABP\) и \(Q \in ABP\); точки \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ADM\), поэтому \(DM \subset ADM\) и \(Q \in ADM\). Значит, точки \(A\) и \(Q\) являются общими для плоскостей \(ABP\) и \(ADM\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(AQ\).
Так же \(AP \subset ABP\) и \(DN \subset BDN\), поэтому \(R \in ABP\) и \(R \in BDN\). Значит, точки \(B\) и \(R\) являются общими для плоскостей \(ABP\) и \(BDN\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(BR\).
Прямые \(AQ\) и \(BR\) лежат в плоскости \(ABP\), причём точка \(Q\) лежит на стороне \(BP\) треугольника \(ABP\), а точка \(R\) — на стороне \(AP\), поэтому отрезки \(AQ\) и \(BR\) пересекаются. Пусть \(E\) — точка их пересечения.
Точка \(E\) лежит на прямой \(AQ\), принадлежащей плоскостям \(ABP\) и \(ADM\), и на прямой \(BR\), принадлежащей плоскости \(BDN\). Значит, точка \(E\) принадлежит всем трём плоскостям \(ABP\), \(ADM\) и \(BDN\).
Ответ: искомая точка — точка \(E\) пересечения прямых \(AQ\) и \(BR\), где \(Q\) — точка пересечения прямых \(BP\) и \(DM\), а \(R\) — точка пересечения прямых \(AP\) и \(DN\).
На рёбрах \(BC\), \(CA\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отметили точки \(M\), \(N\) и \(P\) соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей \(ABP\), \(ADM\) и \(BDN\).
Точки \(B\) и \(P\) принадлежат плоскости \(BCD\): точка \(B\) — вершина тетраэдра, а точка \(P\) лежит на ребре \(CD\). Тогда по аксиоме А4 прямая \(BP\) принадлежит плоскости \(BCD\). Аналогично точки \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(BCD\), поэтому и прямая \(DM\) принадлежит этой плоскости.
Отрезок \(BP\) соединяет вершину \(B\) треугольника \(BCD\) с точкой \(P\) противолежащей стороны \(CD\), а отрезок \(DM\) — вершину \(D\) с точкой \(M\) противолежащей стороны \(BC\). Такие отрезки пересекаются. Пусть \(Q\) — точка их пересечения.
Аналогично прямые \(AP\) и \(DN\) принадлежат плоскости \(ACD\), причём отрезок \(AP\) соединяет вершину \(A\) треугольника \(ACD\) с точкой стороны \(CD\), а отрезок \(DN\) — вершину \(D\) с точкой стороны \(CA\). Пусть \(R\) — точка пересечения этих отрезков.
Точки \(B\) и \(P\) принадлежат плоскости \(ABP\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BP\) принадлежит этой плоскости, а вместе с ней и точка \(Q\). Точки \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ADM\), поэтому прямая \(DM\) принадлежит плоскости \(ADM\), и потому \(Q \in ADM\). Значит, точки \(A\) и \(Q\) являются общими для плоскостей \(ABP\) и \(ADM\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(AQ\).
Точки \(A\) и \(P\) принадлежат плоскости \(ABP\), поэтому \(AP \subset ABP\) и \(R \in ABP\). Точки \(D\) и \(N\) принадлежат плоскости \(BDN\), поэтому \(DN \subset BDN\) и \(R \in BDN\). Значит, точки \(B\) и \(R\) являются общими для плоскостей \(ABP\) и \(BDN\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(BR\).
Прямые \(AQ\) и \(BR\) лежат в плоскости \(ABP\). Точка \(Q\) лежит на стороне \(BP\) треугольника \(ABP\), а точка \(R\) — на стороне \(AP\), поэтому отрезки \(AQ\) и \(BR\) пересекаются. Пусть \(E\) — точка их пересечения.
Точка \(E\) лежит на прямой \(AQ\), а эта прямая принадлежит и плоскости \(ABP\), и плоскости \(ADM\). Точка \(E\) лежит также на прямой \(BR\), которая принадлежит плоскости \(BDN\). Значит, точка \(E\) принадлежит всем трём плоскостям \(ABP\), \(ADM\) и \(BDN\).
Ответ: искомая точка — точка \(E\) пересечения прямых \(AQ\) и \(BR\), где \(Q\) — точка пересечения прямых \(BP\) и \(DM\), а \(R\) — точка пересечения прямых \(AP\) и \(DN\).
