Вопросы после параграфа §4 на странице 42, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
1. Какие существуют случаи расположения прямых в пространстве? 2. Какие две прямые в пространстве называют параллельными? 3. Какие две прямые в пространстве называют скрещивающимися? 4. Какие два отрезка называют параллельными? скрещивающимися? 5. Сформулируйте теорему о плоскости, которую задают две параллельные прямые. 6. Сформулируйте теорему о прямой, проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. 7. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
Две прямые пространства могут лежать в одной плоскости, а могут не лежать в одной плоскости.
Если прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку, их называют пересекающимися, а если общих точек у них нет — параллельными. Если же прямые не лежат в одной плоскости, их называют скрещивающимися.
Все три случая встречаются у одного куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\): прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются, их общая точка — вершина \(A\); прямые \(AB\) и \(DC\) параллельны, так как это противоположные стороны квадрата \(ABCD\); прямые \(AA_1\) и \(DC\) скрещивающиеся, так как прямая \(DC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(DC\).
Ответ: существуют три случая: прямые пересекаются, прямые параллельны, прямые скрещиваются.
Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые \(a\) и \(b\) параллельны, то записывают: \(a \parallel b\).
Важны оба условия сразу: в пространстве две прямые могут не иметь общих точек и при этом не лежать в одной плоскости — такие прямые не параллельны, а скрещиваются.
Ответ: параллельными называют две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Общих точек у скрещивающихся прямых нет: будь у них общая точка, через две пересекающиеся прямые проходила бы плоскость и прямые лежали бы в одной плоскости.
Например, у тетраэдра \(DABC\) прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(DC\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не принадлежащей прямой \(AB\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых рёбра \(AB\) и \(DC\) — скрещивающиеся.
Ответ: скрещивающимися называют две прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Два отрезка называют параллельными (скрещивающимися), если они лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых.
Например, у треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) боковые рёбра \(AA_1\) и \(BB_1\) — параллельные отрезки: они лежат на прямых, содержащих противоположные стороны параллелограмма \(ABB_1A_1\) — боковой грани призмы.
Рёбра \(AC\) и \(BB_1\) этой же призмы — скрещивающиеся отрезки: прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(BB_1\) пересекает эту плоскость в точке \(B\), не принадлежащей прямой \(AC\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(BB_1\) скрещивающиеся.
Ответ: параллельными (скрещивающимися) называют два отрезка, которые лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых.
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.
Это ещё один способ задания плоскости; до него таких способов было три: плоскость задают три точки, не принадлежащие одной прямой; прямая и не принадлежащая ей точка; две пересекающиеся прямые.
Ответ: через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.
Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Прямая \(a\) и не принадлежащая ей точка \(A\) задают единственную плоскость \(\alpha\), и в этой плоскости через точку \(A\) проходит ровно одна прямая \(b\), параллельная прямой \(a\). Других прямых, проходящих через точку \(A\) параллельно прямой \(a\), в пространстве нет.
Ответ: через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.
Пусть прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\), причём \(M \notin a\). Если бы прямые \(a\) и \(b\) лежали в одной плоскости \(\beta\), то плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) проходили бы через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(M\) и потому совпадали бы; тогда \(b \subset \alpha\), что противоречит условию \(b \cap \alpha = M\).
Ответ: если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.
1. Какие существуют случаи расположения прямых в пространстве? 2. Какие две прямые в пространстве называют параллельными? 3. Какие две прямые в пространстве называют скрещивающимися? 4. Какие два отрезка называют параллельными? скрещивающимися? 5. Сформулируйте теорему о плоскости, которую задают две параллельные прямые. 6. Сформулируйте теорему о прямой, проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. 7. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
Две прямые пространства могут лежать в одной плоскости, а могут не лежать в одной плоскости.
Если прямые лежат в одной плоскости, то возможны два случая: они имеют общую точку или не имеют общих точек. В первом случае прямые называют пересекающимися, во втором — параллельными. Если же прямые не лежат в одной плоскости, их называют скрещивающимися.
Значит, существуют три возможности взаимного расположения двух прямых в пространстве:
1) прямые пересекаются;
2) прямые параллельны;
3) прямые скрещиваются.
Все три случая встречаются у одного куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\): прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются, их общая точка — вершина \(A\); прямые \(AB\) и \(DC\) параллельны, так как это противоположные стороны квадрата \(ABCD\); прямые \(AA_1\) и \(DC\) скрещивающиеся, так как прямая \(DC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(DC\).
Ответ: существуют три случая: прямые пересекаются, прямые параллельны, прямые скрещиваются.
Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые \(a\) и \(b\) параллельны, то записывают: \(a \parallel b\).
В этом определении важны оба условия сразу. Только того, что у прямых нет общих точек, недостаточно: в пространстве две прямые могут не иметь общих точек и при этом не лежать в одной плоскости — такие прямые не параллельны, а скрещиваются.
Ответ: параллельными называют две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Общих точек у скрещивающихся прямых нет: если бы у них нашлась общая точка, то через две пересекающиеся прямые проходила бы плоскость и притом только одна — и прямые лежали бы в одной плоскости.
Например, рёбра \(AB\) и \(DC\) тетраэдра \(DABC\) — скрещивающиеся. Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(DC\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не принадлежащей прямой \(AB\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AB\) и \(DC\) скрещивающиеся.
Ответ: скрещивающимися называют две прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Два отрезка называют параллельными (скрещивающимися), если они лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых.
Например, у треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) боковые рёбра \(AA_1\) и \(BB_1\) — параллельные отрезки: они лежат на прямых, содержащих противоположные стороны параллелограмма \(ABB_1A_1\) — боковой грани призмы.
Рёбра \(AC\) и \(BB_1\) этой же призмы — скрещивающиеся отрезки: прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(BB_1\) пересекает эту плоскость в точке \(B\), не принадлежащей прямой \(AC\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(BB_1\) скрещивающиеся.
Ответ: параллельными (скрещивающимися) называют два отрезка, которые лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых.
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.
Эта теорема даёт ещё один способ задания плоскости — с помощью двух параллельных прямых. До неё таких способов было три: плоскость задают три точки, не принадлежащие одной прямой; прямая и не принадлежащая ей точка; две пересекающиеся прямые.
Ответ: через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.
Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Прямая \(a\) и не принадлежащая ей точка \(A\) задают единственную плоскость \(\alpha\), и в этой плоскости через точку \(A\) проходит ровно одна прямая \(b\), параллельная прямой \(a\). Других прямых, проходящих через точку \(A\) параллельно прямой \(a\), в пространстве нет: каждая такая прямая по определению параллельности лежит с прямой \(a\) в одной плоскости, а эта плоскость проходит через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(A\) и потому совпадает с плоскостью \(\alpha\).
Ответ: через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.
Пусть прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\), причём \(M \notin a\). Если бы прямые \(a\) и \(b\) лежали в одной плоскости \(\beta\), то плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) проходили бы через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(M\) и потому совпадали бы; тогда \(b \subset \alpha\), что противоречит условию \(b \cap \alpha = M\).
Ответ: если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.
