Страница 29 номер 3.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AC\) и \(BD\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на ребре \(CD\) — точки \(M\) и \(K\) так, что точка \(K\) лежит между точками \(C\) и \(M\) (рис. 3.45). Постройте линию пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\).
Точки \(A\), \(M\), \(E\) и \(K\) принадлежат плоскости \(ACD\) (\(M \in CD\), \(E \in AC\), \(K \in CD\)), значит, по аксиоме А4 прямые \(AM\) и \(EK\) лежат в этой плоскости. Точки \(B\), \(M\), \(F\) и \(K\) принадлежат плоскости \(BCD\) (\(F \in BD\)), поэтому прямые \(BM\) и \(FK\) лежат в плоскости \(BCD\).
Точка \(F\) лежит на стороне \(BD\) треугольника \(BMD\), а точка \(K\) — на стороне \(CM\) треугольника \(BMC\) (ведь \(K\) лежит между \(C\) и \(M\)), то есть точки \(F\) и \(K\) лежат по разные стороны от прямой \(BM\). Поэтому отрезки \(BM\) и \(FK\) пересекаются. Пусть \(Q\) — точка их пересечения. Поскольку \(BM \subset ABM\), то \(Q \in ABM\); поскольку \(FK \subset EFK\), то \(Q \in EFK\).
Обе точки \(E\) и \(K\) лежат в треугольнике \(ACM\), и потому отрезки \(AM\) и \(EK\) общих точек не имеют: прямые пересекаются вне отрезка \(AM\) — как видно на рисунке, на продолжении отрезка \(MA\) за точку \(A\) и на продолжении отрезка \(KE\) за точку \(E\). Пусть \(P\) — точка их пересечения. Поскольку \(AM \subset ABM\), то \(P \in ABM\); поскольку \(EK \subset EFK\), то \(P \in EFK\).
Значит, точки \(P\) и \(Q\) являются общими для плоскостей \(ABM\) и \(EFK\). Следовательно, по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой \(PQ\).
Ответ: прямая \(PQ\), где \(P\) — точка пересечения прямых \(AM\) и \(EK\), а \(Q\) — точка пересечения прямых \(BM\) и \(FK\), является линией пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\).
На рёбрах \(AC\) и \(BD\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на ребре \(CD\) — точки \(M\) и \(K\) так, что точка \(K\) лежит между точками \(C\) и \(M\) (рис. 3.45). Постройте линию пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\).
Точки \(A\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ACD\) (\(M \in CD\)), значит, по аксиоме А4 прямая \(AM\) принадлежит этой плоскости. Точки \(E\) и \(K\) также принадлежат плоскости \(ACD\) (\(E \in AC\), \(K \in CD\)), поэтому и прямая \(EK\) принадлежит плоскости \(ACD\).
Точки \(B\) и \(M\) принадлежат плоскости \(BCD\), значит, прямая \(BM\) принадлежит этой плоскости. Точки \(F\) и \(K\) также принадлежат плоскости \(BCD\) (\(F \in BD\), \(K \in CD\)), поэтому и прямая \(FK\) принадлежит плоскости \(BCD\).
Прямые \(BM\) и \(FK\) лежат в одной плоскости. Точка \(F\) лежит на стороне \(BD\) треугольника \(BMD\), а точка \(K\) — на стороне \(CM\) треугольника \(BMC\) (ведь \(K\) лежит между \(C\) и \(M\)), то есть точки \(F\) и \(K\) лежат по разные стороны от прямой \(BM\). Поэтому отрезки \(BM\) и \(FK\) пересекаются. Пусть \(Q\) — точка их пересечения. Поскольку \(BM \subset ABM\), то \(Q \in ABM\). Поскольку \(FK \subset EFK\), то \(Q \in EFK\).
Прямые \(AM\) и \(EK\) также лежат в одной плоскости. Поскольку точка \(K\) лежит между точками \(C\) и \(M\), обе точки \(E\) и \(K\) лежат в треугольнике \(ACM\), и потому отрезки \(AM\) и \(EK\) общих точек не имеют: прямые пересекаются вне отрезка \(AM\) — как видно на рисунке, на продолжении отрезка \(MA\) за точку \(A\) и на продолжении отрезка \(KE\) за точку \(E\). Пусть \(P\) — точка их пересечения. Поскольку \(AM \subset ABM\), то \(P \in ABM\). Поскольку \(EK \subset EFK\), то \(P \in EFK\).
Значит, точки \(P\) и \(Q\) являются общими для плоскостей \(ABM\) и \(EFK\). Следовательно, по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой \(PQ\).
Ответ: прямая \(PQ\), где \(P\) — точка пересечения прямых \(AM\) и \(EK\), а \(Q\) — точка пересечения прямых \(BM\) и \(FK\), является линией пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\).
