Страница 29 номер 3.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AA_1\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\) и \(F\) (рис. 3.41). Постройте сечение куба плоскостью \(EB_1F\).
Точки \(E\) и \(B_1\) принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости \(EB_1F\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(EB_1\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(EB_1\). Аналогично точки \(B_1\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(BCC_1B_1\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(B_1F\).
Прямые \(EB_1\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABB_1\). Пусть \(X\) — точка их пересечения. Поскольку \(AB \subset ABC\), то \(X \in ABC\); поскольку \(EB_1 \subset EB_1F\), то \(X \in EB_1F\).
Аналогично прямые \(B_1F\) и \(BC\) лежат в плоскости \(BCC_1\), и их точка пересечения \(Y\) принадлежит и плоскости \(ABC\), и плоскости \(EB_1F\).
Значит, точки \(X\) и \(Y\) являются общими для плоскостей \(ABC\) и \(EB_1F\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(XY\). На рисунке видно, что прямая \(XY\) пересекает рёбра \(AD\) и \(DC\); пусть \(P\) и \(Q\) — соответственно точки этих пересечений. Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по отрезку \(PQ\), грань \(ADD_1A_1\) — по отрезку \(PE\), а грань \(DCC_1D_1\) — по отрезку \(QF\).
Значит, пятиугольник \(EB_1FQP\) — искомое сечение.
Вид сечения зависит от того, как расположены на рёбрах точки \(E\) и \(F\). Если \(AE + CF = AA_1\), то точки \(P\) и \(Q\) совпадают с вершиной \(D\) и сечением является четырёхугольник \(EB_1FD\); если же \(AE + CF > AA_1\), то прямая \(XY\) проходит вне основания, а четвёртая вершина сечения лежит на ребре \(DD_1\).
Ответ: пятиугольник \(EB_1FQP\) — искомое сечение.
На рёбрах \(AA_1\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\) и \(F\) (рис. 3.41). Постройте сечение куба плоскостью \(EB_1F\).
Точки \(E\) и \(B_1\) принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости \(EB_1F\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(EB_1\), и секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(EB_1\). Аналогично точки \(B_1\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(BCC_1B_1\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(B_1F\).
Чтобы построить остальные стороны сечения, найдём линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания \(ABC\).
Прямые \(EB_1\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABB_1\). Пусть \(X\) — точка их пересечения. Поскольку \(AB \subset ABC\), то \(X \in ABC\); поскольку \(EB_1 \subset EB_1F\), то \(X \in EB_1F\).
Прямые \(B_1F\) и \(BC\) лежат в плоскости \(BCC_1\). Пусть \(Y\) — точка их пересечения. Поскольку \(BC \subset ABC\), то \(Y \in ABC\); поскольку \(B_1F \subset EB_1F\), то \(Y \in EB_1F\).
Значит, точки \(X\) и \(Y\) являются общими для плоскостей \(ABC\) и \(EB_1F\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(XY\). На рисунке видно, что прямая \(XY\) пересекает рёбра \(AD\) и \(DC\); пусть \(P\) и \(Q\) — соответственно точки этих пересечений. Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по отрезку \(PQ\), грань \(ADD_1A_1\) — по отрезку \(PE\), а грань \(DCC_1D_1\) — по отрезку \(QF\).
Значит, пятиугольник \(EB_1FQP\) — искомое сечение.
Вид сечения зависит от того, как расположены на рёбрах точки \(E\) и \(F\). Если \(AE + CF = AA_1\), то точки \(P\) и \(Q\) совпадают с вершиной \(D\) и сечением является четырёхугольник \(EB_1FD\); если же \(AE + CF > AA_1\), то прямая \(XY\) проходит вне основания, а четвёртая вершина сечения лежит на ребре \(DD_1\).
Ответ: пятиугольник \(EB_1FQP\) — искомое сечение.
