Страница 32 номер 3.41, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SA\) и \(SC\) отметили соответственно точки \(K\) и \(N\) так, что \(SK : KA = 1 : 3\), \(SN : NC = 1 : 2\). На продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\) отметили точку \(M\) так, что \(BC = CM\). 1) Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\). 2) В каком отношении, считая от вершины \(S\), плоскость \(MNK\) делит ребро \(SD\)?
1) Точка \(M\) лежит на прямой \(BC\), принадлежащей плоскости \(SBC\), а точка \(N\) — на ребре \(SC\), поэтому обе точки принадлежат плоскости \(SBC\), и по аксиоме А4 прямая \(MN\) принадлежит этой плоскости. Точки \(M\) и \(N\) принадлежат и секущей плоскости \(MNK\), поэтому по той же аксиоме прямая \(MN\) принадлежит и ей. Пусть прямая \(MN\) пересекает ребро \(SB\) в точке \(P\); тогда точка \(P\) принадлежит секущей плоскости, и секущая плоскость пересекает грань \(SBC\) по отрезку \(PN\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) параллелограмма \(ABCD\). Точки \(S\) и \(O\) принадлежат плоскости \(SAC\) (так как \(O \in AC\)) и плоскости \(SBD\) (так как \(O \in BD\)), поэтому прямая \(SO\) принадлежит обеим этим плоскостям.
Точки \(K\) и \(N\) принадлежат плоскости \(SAC\) (\(K \in SA\), \(N \in SC\)), значит, прямая \(KN\) принадлежит этой плоскости. В треугольнике \(SAC\) отрезок \(KN\) соединяет точку стороны \(SA\) с точкой стороны \(SC\), а отрезок \(SO\) — вершину \(S\) с серединой стороны \(AC\), поэтому эти отрезки пересекаются. Пусть \(Q\) — точка их пересечения.
Точка \(Q\) лежит на прямой \(KN\), поэтому принадлежит секущей плоскости; она лежит и на прямой \(SO\), поэтому принадлежит плоскости \(SBD\). Точка \(P\) принадлежит секущей плоскости и плоскости \(SBD\) (так как \(P \in SB\)). Значит, точки \(P\) и \(Q\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(SBD\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(PQ\).
Пусть прямая \(PQ\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(L\); эта точка тоже принадлежит секущей плоскости. Каждая грань \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\) и \(SDA\) содержит по две из точек \(K\), \(P\), \(N\), \(L\), а все они принадлежат секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эти грани соответственно по отрезкам \(KP\), \(PN\), \(NL\) и \(LK\).
Значит, четырёхугольник \(KPNL\) — искомое сечение.
2) Рассмотрим треугольник \(SBC\). Проведём через точку \(C\) прямую, параллельную стороне \(SB\); пусть она пересекает прямую \(MN\) в точке \(C_1\).
По условию \(BC = CM\), поэтому \(MC : MB = 1 : 2\). Треугольники \(MCC_1\) и \(MBP\) подобны (прямые \(CC_1\) и \(BP\) параллельны) с коэффициентом \(MC : MB = 1 : 2\), поэтому \(CC_1 = \dfrac{1}{2}BP\).
По условию \(SN : NC = 1 : 2\), поэтому \(NC : NS = 2 : 1\). Треугольники \(NCC_1\) и \(NSP\) подобны (прямые \(CC_1\) и \(SP\) параллельны, углы при вершине \(N\) вертикальные) с коэффициентом \(NC : NS = 2 : 1\), поэтому \(CC_1 = 2 \cdot SP\).
Из равенств \(CC_1 = \dfrac{1}{2}BP\) и \(CC_1 = 2 \cdot SP\) получаем \(BP = 4 \cdot SP\), то есть \(SP = \dfrac{1}{5}SB\).
Рассмотрим треугольник \(SAC\). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина стороны \(AC\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SA\); пусть она пересекает сторону \(SC\) в точке \(F\). Отрезок \(OF\) — средняя линия этого треугольника, поэтому \(F\) — середина \(SC\) и \(OF = \dfrac{1}{2}SA\).
Так как \(SN = \dfrac{1}{3}SC\), а \(SF = \dfrac{1}{2}SC\), то \(NF = SF - SN = \dfrac{1}{6}SC\) и \(SN : NF = 2 : 1\).
Пусть прямая \(KN\) пересекает прямую \(OF\) в точке \(G\). Треугольники \(NSK\) и \(NFG\) подобны (прямые \(SA\) и \(OF\) параллельны, углы при вершине \(N\) вертикальные) с коэффициентом \(SN : NF = 2 : 1\), поэтому \(FG = \dfrac{1}{2}SK\).
Так как \(SK : KA = 1 : 3\), то \(SK = \dfrac{1}{4}SA\) и \(FG = \dfrac{1}{8}SA\). Точка \(F\) лежит между точками \(O\) и \(G\), поэтому \(OG = OF + FG = \dfrac{1}{2}SA + \dfrac{1}{8}SA = \dfrac{5}{8}SA\).
Треугольники \(SQK\) и \(OQG\) подобны (прямые \(SK\) и \(OG\) параллельны, углы при вершине \(Q\) вертикальные), поэтому \(\dfrac{SQ}{QO} = \dfrac{SK}{OG} = \dfrac{2}{5}\).
Рассмотрим треугольник \(SBD\), в котором \(O\) — середина стороны \(BD\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SB\); пусть она пересекает сторону \(SD\) в точке \(E\). Как и выше, \(E\) — середина \(SD\) и \(OE = \dfrac{1}{2}SB\).
Пусть прямая \(PQ\) пересекает прямую \(OE\) в точке \(H\). Треугольники \(SQP\) и \(OQH\) подобны (прямые \(SP\) и \(OH\) параллельны, углы при вершине \(Q\) вертикальные), поэтому \(\dfrac{OH}{SP} = \dfrac{QO}{SQ} = \dfrac{5}{2}\), откуда \(OH = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{5}SB = \dfrac{1}{2}SB\).
Значит, \(OH = OE\). Точки \(H\) и \(E\) лежат на одной прямой по одну сторону от точки \(O\): точка \(E\) лежит на стороне \(SD\), а точка \(H\) лежит по другую сторону от прямой \(SO\), чем точка \(P\), то есть с той же стороны, что и вершина \(D\). Поэтому точки \(H\) и \(E\) совпадают.
Следовательно, прямая \(PQ\) проходит через середину ребра \(SD\), то есть точка \(L\) — середина \(SD\) и \(SL : LD = 1 : 1\).
Ответ: 1) четырёхугольник \(KPNL\) — искомое сечение; 2) \(SL : LD = 1 : 1\).
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SA\) и \(SC\) отметили соответственно точки \(K\) и \(N\) так, что \(SK : KA = 1 : 3\), \(SN : NC = 1 : 2\). На продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\) отметили точку \(M\) так, что \(BC = CM\). 1) Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\). 2) В каком отношении, считая от вершины \(S\), плоскость \(MNK\) делит ребро \(SD\)?
1) Точка \(M\) лежит на прямой \(BC\), а прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(SBC\), поэтому \(M\) принадлежит плоскости \(SBC\). Точка \(N\) лежит на ребре \(SC\) и потому тоже принадлежит этой плоскости. Тогда по аксиоме А4 прямая \(MN\) принадлежит плоскости \(SBC\). Точки \(M\) и \(N\) принадлежат и секущей плоскости \(MNK\), поэтому по той же аксиоме прямая \(MN\) принадлежит и этой плоскости. Пусть прямая \(MN\) пересекает ребро \(SB\) в точке \(P\); тогда точка \(P\) принадлежит секущей плоскости, и секущая плоскость пересекает грань \(SBC\) по отрезку \(PN\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) параллелограмма \(ABCD\). Точки \(S\) и \(O\) принадлежат плоскости \(SAC\) (так как \(O \in AC\)) и плоскости \(SBD\) (так как \(O \in BD\)), поэтому прямая \(SO\) принадлежит обеим этим плоскостям.
Точки \(K\) и \(N\) принадлежат плоскости \(SAC\) (\(K \in SA\), \(N \in SC\)), значит, прямая \(KN\) принадлежит этой плоскости. В треугольнике \(SAC\) отрезок \(KN\) соединяет точку стороны \(SA\) с точкой стороны \(SC\), а отрезок \(SO\) — вершину \(S\) с серединой стороны \(AC\), поэтому эти отрезки пересекаются. Пусть \(Q\) — точка их пересечения.
Точка \(Q\) лежит на прямой \(KN\), поэтому принадлежит секущей плоскости; точка \(Q\) лежит на прямой \(SO\), поэтому принадлежит плоскости \(SBD\). Точка \(P\) принадлежит секущей плоскости и плоскости \(SBD\) (так как \(P \in SB\)). Значит, точки \(P\) и \(Q\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(SBD\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(PQ\).
Пусть прямая \(PQ\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(L\). Точка \(L\) лежит на прямой \(PQ\), поэтому принадлежит секущей плоскости. Каждая грань \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\) и \(SDA\) содержит по две из точек \(K\), \(P\), \(N\), \(L\), а все эти точки принадлежат секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает эти грани соответственно по отрезкам \(KP\), \(PN\), \(NL\) и \(LK\).
Значит, четырёхугольник \(KPNL\) — искомое сечение.
2) Рассмотрим треугольник \(SBC\). Проведём через точку \(C\) прямую, параллельную стороне \(SB\); пусть она пересекает прямую \(MN\) в точке \(C_1\).
По условию \(BC = CM\), поэтому \(MC : MB = 1 : 2\). Треугольники \(MCC_1\) и \(MBP\) подобны, так как прямые \(CC_1\) и \(BP\) параллельны; коэффициент подобия равен \(MC : MB = 1 : 2\), поэтому \(CC_1 = \dfrac{1}{2}BP\).
По условию \(SN : NC = 1 : 2\), поэтому \(NC : NS = 2 : 1\). Треугольники \(NCC_1\) и \(NSP\) подобны (прямые \(CC_1\) и \(SP\) параллельны, углы при вершине \(N\) вертикальные), коэффициент подобия равен \(NC : NS = 2 : 1\), поэтому \(CC_1 = 2 \cdot SP\).
Из равенств \(CC_1 = \dfrac{1}{2}BP\) и \(CC_1 = 2 \cdot SP\) получаем \(BP = 4 \cdot SP\), то есть \(SP = \dfrac{1}{5}SB\).
Рассмотрим треугольник \(SAC\). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина стороны \(AC\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SA\); пусть она пересекает сторону \(SC\) в точке \(F\). Отрезок \(OF\) — средняя линия треугольника \(ASC\), поэтому \(F\) — середина \(SC\) и \(OF = \dfrac{1}{2}SA\).
Так как \(SN = \dfrac{1}{3}SC\), а \(SF = \dfrac{1}{2}SC\), то \(NF = SF - SN = \dfrac{1}{6}SC\) и \(SN : NF = 2 : 1\).
Пусть прямая \(KN\) пересекает прямую \(OF\) в точке \(G\). Треугольники \(NSK\) и \(NFG\) подобны (углы при вершине \(N\) вертикальные, а \(\angle NSK = \angle NFG\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(SA\) и \(OF\) и секущей \(SC\)), коэффициент подобия равен \(SN : NF = 2 : 1\), поэтому \(FG = \dfrac{1}{2}SK\).
Так как \(SK : KA = 1 : 3\), то \(SK = \dfrac{1}{4}SA\) и \(FG = \dfrac{1}{8}SA\). Точка \(F\) лежит между точками \(O\) и \(G\), поэтому \(OG = OF + FG = \dfrac{1}{2}SA + \dfrac{1}{8}SA = \dfrac{5}{8}SA\).
Треугольники \(SQK\) и \(OQG\) подобны (прямые \(SK\) и \(OG\) параллельны, углы при вершине \(Q\) вертикальные), поэтому \(\dfrac{SQ}{QO} = \dfrac{SK}{OG} = \dfrac{2}{5}\).
Рассмотрим треугольник \(SBD\). Точка \(O\) — середина стороны \(BD\). Проведём через точку \(O\) прямую, параллельную стороне \(SB\); пусть она пересекает сторону \(SD\) в точке \(E\). Отрезок \(OE\) — средняя линия треугольника \(BSD\), поэтому \(E\) — середина \(SD\) и \(OE = \dfrac{1}{2}SB\).
Пусть прямая \(PQ\) пересекает прямую \(OE\) в точке \(H\). Треугольники \(SQP\) и \(OQH\) подобны (прямые \(SP\) и \(OH\) параллельны, углы при вершине \(Q\) вертикальные), поэтому \(\dfrac{OH}{SP} = \dfrac{QO}{SQ} = \dfrac{5}{2}\), откуда \(OH = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{5}SB = \dfrac{1}{2}SB\).
Значит, \(OH = OE\). Точки \(H\) и \(E\) лежат на одной прямой по одну сторону от точки \(O\): точка \(E\) лежит на стороне \(SD\), а точка \(H\) лежит по другую сторону от прямой \(SO\), чем точка \(P\), то есть с той же стороны, что и вершина \(D\). Поэтому точки \(H\) и \(E\) совпадают.
Следовательно, прямая \(PQ\) проходит через середину ребра \(SD\), то есть точка \(L\) — середина \(SD\) и \(SL : LD = 1 : 1\).
Ответ: 1) четырёхугольник \(KPNL\) — искомое сечение; 2) \(SL : LD = 1 : 1\).
