Страница 28 номер 3.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AD\) и \(CD\) пирамиды \(SABCD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) (рис. 3.39). Постройте линию пересечения плоскостей \(BSC\) и \(MSK\).
Точка \(S\) принадлежит и плоскости \(BSC\), и плоскости \(MSK\). Эти плоскости различны: точка \(C\) плоскости \(MSK\) не принадлежит, иначе точки основания \(M\), \(K\) и \(C\) вместе с вершиной \(S\) лежали бы в одной плоскости, и вершина \(S\) оказалась бы в плоскости основания. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(BSC\) и \(MSK\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(S\).
Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\), точка \(K\) — на ребре \(CD\), поэтому обе они принадлежат плоскости основания. Прямая \(BC\) содержит сторону основания и потому тоже лежит в плоскости основания. Значит, прямые \(MK\) и \(BC\) лежат в одной плоскости, и на рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MSK\), тогда по аксиоме А4 прямая \(MK\) принадлежит этой плоскости, поэтому \(X \in MSK\). Аналогично прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(BSC\), поэтому \(X \in BSC\). Значит, точки \(S\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(BSC\) и \(MSK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(SX\).
Ответ: прямая \(SX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(MK\) и \(BC\), является линией пересечения плоскостей \(BSC\) и \(MSK\).
На рёбрах \(AD\) и \(CD\) пирамиды \(SABCD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) (рис. 3.39). Постройте линию пересечения плоскостей \(BSC\) и \(MSK\).
Точка \(S\) принадлежит и плоскости \(BSC\), и плоскости \(MSK\). Эти плоскости различны: точка \(C\) плоскости \(MSK\) не принадлежит, иначе точки основания \(M\), \(K\) и \(C\) вместе с вершиной \(S\) лежали бы в одной плоскости, и вершина \(S\) оказалась бы в плоскости основания. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(BSC\) и \(MSK\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(S\). Чтобы эту прямую построить, надо найти ещё одну общую точку этих плоскостей.
Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\), точка \(K\) — на ребре \(CD\), поэтому обе они принадлежат плоскости основания. Прямая \(BC\) содержит сторону основания и потому тоже лежит в плоскости основания. Значит, прямые \(MK\) и \(BC\) лежат в одной плоскости, и на рисунке видно, что они пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MSK\), тогда по аксиоме А4 прямая \(MK\) принадлежит этой плоскости, поэтому \(X \in MSK\). Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(BSC\), поэтому прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(BSC\) и \(X \in BSC\). Значит, точки \(S\) и \(X\) являются общими для плоскостей \(BSC\) и \(MSK\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(SX\).
Ответ: прямая \(SX\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(MK\) и \(BC\), является линией пересечения плоскостей \(BSC\) и \(MSK\).
