Страница 44 номер 4.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На отрезке \(AB\), не пересекающем плоскость \(\alpha\), отмечена точка \(C\) так, что \(AC = 4\) см, \(BC = 8\) см. Через точки \(A\), \(B\) и \(C\) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. 1) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой. 2) Найдите отрезок \(A_1C_1\), если \(B_1C_1 = 10\) см.
1) Прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) попарно параллельны и пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\), а все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).
Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому ей не принадлежит, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны. Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — общие точки этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, следовательно, точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
2)
Дано:
\(AC = 4\) см
\(BC = 8\) см
\(B_1C_1 = 10\) см
отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\)
Найти: отрезок \(A_1C_1\).
Решение: В плоскости \(\beta\) параллельные прямые \(AA_1\), \(CC_1\) и \(BB_1\) пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(C\), \(B\), а прямую \(A_1B_1\) — в точках \(A_1\), \(C_1\), \(B_1\). Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки, поэтому \(\dfrac{A_1C_1}{C_1B_1} = \dfrac{AC}{CB}\).
Значит, \(\dfrac{A_1C_1}{10} = \dfrac{4}{8}\), откуда \(A_1C_1 = \dfrac{10 \cdot 4}{8} = 5\) (см).
Ответ: \(A_1C_1 = 5\) см.
На отрезке \(AB\), не пересекающем плоскость \(\alpha\), отмечена точка \(C\) так, что \(AC = 4\) см, \(BC = 8\) см. Через точки \(A\), \(B\) и \(C\) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. 1) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой. 2) Найдите отрезок \(A_1C_1\), если \(B_1C_1 = 10\) см.
1) Прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) попарно параллельны и пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\). Известно, что все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости, поэтому эти три прямые лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).
Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому не принадлежит ей, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны.
Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\). Две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Следовательно, точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
2)
Дано:
\(AC = 4\) см
\(BC = 8\) см
\(B_1C_1 = 10\) см
отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\)
Найти: отрезок \(A_1C_1\).
Решение: В плоскости \(\beta\) параллельные прямые \(AA_1\), \(CC_1\) и \(BB_1\) пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(C\), \(B\), а прямую \(A_1B_1\) — в точках \(A_1\), \(C_1\), \(B_1\).
Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки, поэтому \(\dfrac{A_1C_1}{C_1B_1} = \dfrac{AC}{CB}\).
Значит, \(\dfrac{A_1C_1}{10} = \dfrac{4}{8}\), откуда \(A_1C_1 = \dfrac{10 \cdot 4}{8} = 5\) (см).
Ответ: \(A_1C_1 = 5\) см.
