Страница 31 номер 3.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(K\) принадлежит ребру \(AC\) тетраэдра \(DABC\), точка \(E\) — грани \(ADB\), точка \(F\) — грани \(BDC\) (рис. 3.52). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(EFK\).
Точки \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ADB\), значит, по аксиоме А4 прямая \(DE\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(AB\) в точке \(E_1\). Аналогично прямая \(DF\) принадлежит плоскости \(BDC\); пусть она пересекает ребро \(BC\) в точке \(F_1\).
Прямые \(DE_1\) и \(DF_1\) пересекаются в точке \(D\), поэтому через них проходит плоскость, и точки \(E\), \(F\), \(E_1\), \(F_1\) принадлежат ей. Значит, прямые \(EF\) и \(E_1F_1\) лежат в одной плоскости, и точки \(E\) и \(F\) взяты так, что эти прямые пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения; как видно на рисунке, она лежит вне тетраэдра. Поскольку \(E_1F_1 \subset ABC\), то \(X \in ABC\); поскольку \(EF \subset EFK\), то \(X \in EFK\).
Точка \(K\) принадлежит ребру \(AC\), поэтому \(K \in ABC\); кроме того, \(K \in EFK\). Значит, точки \(K\) и \(X\) являются общими для плоскости \(ABC\) и секущей плоскости, и эти плоскости пересекаются по прямой \(KX\). Пусть прямая \(KX\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(R\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(KR\).
Точки \(R\) и \(F\) принадлежат плоскости \(BDC\), значит, прямая \(RF\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(BD\) в точке \(S\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BDC\) по отрезку \(RS\).
Аналогично прямая \(SE\) принадлежит плоскости \(ADB\); пусть она пересекает ребро \(AD\) в точке \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает грани \(ADB\) и \(ACD\) соответственно по отрезкам \(ST\) и \(TK\).
Значит, четырёхугольник \(KRST\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(KRST\) — искомое сечение.
Точка \(K\) принадлежит ребру \(AC\) тетраэдра \(DABC\), точка \(E\) — грани \(ADB\), точка \(F\) — грани \(BDC\) (рис. 3.52). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(EFK\).
Точки \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ADB\), значит, по аксиоме А4 прямая \(DE\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(DE\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(E_1\).
Аналогично точки \(D\) и \(F\) принадлежат плоскости \(BDC\); пусть прямая \(DF\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(F_1\).
Прямые \(DE_1\) и \(DF_1\) пересекаются в точке \(D\), поэтому через них проходит плоскость, и точки \(E\), \(F\), \(E_1\), \(F_1\) принадлежат этой плоскости. Значит, прямые \(EF\) и \(E_1F_1\) лежат в одной плоскости, и точки \(E\) и \(F\) взяты так, что эти прямые пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения; как видно на рисунке, она лежит вне тетраэдра. Поскольку \(E_1F_1 \subset ABC\), то \(X \in ABC\). Поскольку \(EF \subset EFK\), то \(X \in EFK\).
Точка \(K\) принадлежит ребру \(AC\), поэтому \(K \in ABC\); кроме того, \(K \in EFK\). Значит, точки \(K\) и \(X\) являются общими для плоскости \(ABC\) и секущей плоскости, и эти плоскости пересекаются по прямой \(KX\).
Пусть прямая \(KX\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(R\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(KR\).
Точки \(R\) и \(F\) принадлежат плоскости \(BDC\), значит, прямая \(RF\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(RF\) пересекает ребро \(BD\) в точке \(S\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BDC\) по отрезку \(RS\).
Точки \(S\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ADB\), значит, прямая \(SE\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(SE\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает грани \(ADB\) и \(ACD\) соответственно по отрезкам \(ST\) и \(TK\).
Значит, четырёхугольник \(KRST\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(KRST\) — искомое сечение.
