Страница 44 номер 4.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(C \in \beta\)
\(CE = 6\) см
\(DE = 9\) см
\(EE_1 = 12\) см

Найти: отрезок \(DD_1\).

Решение: Прямые \(DD_1\) и \(EE_1\) параллельны, а через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна. Обозначим эту плоскость \(\gamma\).

Точки \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DE\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Точка \(E\) лежит на отрезке \(CD\), значит, \(DE\) и \(CD\) — одна и та же прямая, и \(C \in \gamma\).

Прямая \(DD_1\) пересекает плоскость \(\beta\) и потому не принадлежит ей, а плоскости \(\gamma\) принадлежит, значит, плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны. Точки \(C\), \(E_1\) и \(D_1\) принадлежат обеим этим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки \(C\), \(E_1\) и \(D_1\) лежат на одной прямой.

Отрезок \(EE_1\) параллелен отрезку \(DD_1\), поэтому треугольники \(CEE_1\) и \(CDD_1\) подобны: угол \(C\) у них общий, а углы \(CEE_1\) и \(CDD_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(EE_1\) и \(DD_1\) и секущей \(CD\).

Из подобия треугольников \(\dfrac{DD_1}{EE_1} = \dfrac{CD}{CE}\).

Точка \(E\) лежит на отрезке \(CD\), поэтому \(CD = CE + DE = 6 + 9 = 15\) (см).

Значит, \(\dfrac{DD_1}{12} = \dfrac{15}{6}\), откуда \(DD_1 = \dfrac{12 \cdot 15}{6} = 30\) (см).

Ответ: \(DD_1 = 30\) см.