Страница 31 номер 3.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(BC\), \(CA\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отметили точки \(M\), \(N\) и \(P\) соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей \(BPN\), \(AMP\) и \(MND\).
Точки \(A\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ABC\) (\(M \in BC\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AM\) принадлежит этой плоскости. Аналогично прямая \(BN\) принадлежит плоскости \(ABC\). Отрезки \(AM\) и \(BN\) соединяют вершины треугольника \(ABC\) с точками, взятыми на противолежащих сторонах, поэтому они пересекаются. Пусть \(T\) — точка их пересечения.
Так же прямые \(BP\) и \(DM\) принадлежат плоскости \(BCD\) и пересекаются, соединяя вершины треугольника \(BCD\) с точками противолежащих сторон. Пусть \(Q\) — точка их пересечения.
Точки \(A\) и \(M\) принадлежат плоскости \(AMP\), поэтому прямая \(AM\) принадлежит этой плоскости и \(T \in AMP\); точки \(B\) и \(N\) принадлежат плоскости \(BPN\), поэтому прямая \(BN\) принадлежит этой плоскости и \(T \in BPN\). Значит, точки \(P\) и \(T\) являются общими для плоскостей \(BPN\) и \(AMP\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(PT\).
Так же \(BP \subset BPN\) и \(DM \subset MND\), поэтому \(Q \in BPN\) и \(Q \in MND\). Значит, точки \(N\) и \(Q\) являются общими для плоскостей \(BPN\) и \(MND\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(NQ\).
Прямые \(PT\) и \(NQ\) лежат в плоскости \(BPN\), причём точка \(T\) лежит на стороне \(BN\) треугольника \(BPN\), а точка \(Q\) — на стороне \(BP\), поэтому отрезки \(PT\) и \(NQ\) пересекаются. Пусть \(E\) — точка их пересечения.
Точка \(E\) лежит на прямой \(PT\), принадлежащей плоскостям \(BPN\) и \(AMP\), и на прямой \(NQ\), принадлежащей плоскости \(MND\). Значит, точка \(E\) принадлежит всем трём плоскостям \(BPN\), \(AMP\) и \(MND\).
Ответ: искомая точка — точка \(E\) пересечения прямых \(PT\) и \(NQ\), где \(T\) — точка пересечения прямых \(AM\) и \(BN\), а \(Q\) — точка пересечения прямых \(BP\) и \(DM\).
На рёбрах \(BC\), \(CA\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отметили точки \(M\), \(N\) и \(P\) соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей \(BPN\), \(AMP\) и \(MND\).
Точки \(A\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ABC\): точка \(A\) — вершина тетраэдра, а точка \(M\) лежит на ребре \(BC\). Тогда по аксиоме А4 прямая \(AM\) принадлежит плоскости \(ABC\). Аналогично прямая \(BN\) принадлежит плоскости \(ABC\). Отрезок \(AM\) соединяет вершину \(A\) треугольника \(ABC\) с точкой противолежащей стороны \(BC\), а отрезок \(BN\) — вершину \(B\) с точкой противолежащей стороны \(CA\), поэтому эти отрезки пересекаются. Пусть \(T\) — точка их пересечения.
Так же прямые \(BP\) и \(DM\) принадлежат плоскости \(BCD\) и пересекаются: отрезок \(BP\) соединяет вершину \(B\) треугольника \(BCD\) с точкой стороны \(CD\), а отрезок \(DM\) — вершину \(D\) с точкой стороны \(BC\). Пусть \(Q\) — точка их пересечения.
Точки \(A\) и \(M\) принадлежат плоскости \(AMP\), поэтому прямая \(AM\) принадлежит этой плоскости и \(T \in AMP\). Точки \(B\) и \(N\) принадлежат плоскости \(BPN\), поэтому прямая \(BN\) принадлежит этой плоскости и \(T \in BPN\). Значит, точки \(P\) и \(T\) являются общими для плоскостей \(BPN\) и \(AMP\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(PT\).
Точки \(B\) и \(P\) принадлежат плоскости \(BPN\), поэтому \(BP \subset BPN\) и \(Q \in BPN\). Точки \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(MND\), поэтому \(DM \subset MND\) и \(Q \in MND\). Значит, точки \(N\) и \(Q\) являются общими для плоскостей \(BPN\) и \(MND\), и эти плоскости пересекаются по прямой \(NQ\).
Прямые \(PT\) и \(NQ\) лежат в плоскости \(BPN\). Точка \(T\) лежит на стороне \(BN\) треугольника \(BPN\), а точка \(Q\) — на стороне \(BP\), поэтому отрезки \(PT\) и \(NQ\) пересекаются. Пусть \(E\) — точка их пересечения.
Точка \(E\) лежит на прямой \(PT\), а эта прямая принадлежит и плоскости \(BPN\), и плоскости \(AMP\). Точка \(E\) лежит также на прямой \(NQ\), которая принадлежит плоскости \(MND\). Значит, точка \(E\) принадлежит всем трём плоскостям \(BPN\), \(AMP\) и \(MND\).
Ответ: искомая точка — точка \(E\) пересечения прямых \(PT\) и \(NQ\), где \(T\) — точка пересечения прямых \(AM\) и \(BN\), а \(Q\) — точка пересечения прямых \(BP\) и \(DM\).
