Страница 27 номер 3.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 3.32). Точка \(D\) принадлежит прямой \(AC\), точка \(E\) — ребру \(BC\). Постройте сечение призмы плоскостью \(DEC_1\).
Прямая \(AC\) по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(D\) лежит на прямой \(AC\), значит, \(D \in ABC\); точка \(E\) лежит на ребре \(BC\), поэтому \(E \in ABC\).
Точки \(D\) и \(E\) являются общими для секущей плоскости \(DEC_1\) и плоскости \(ABC\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(DE\). Прямая \(DE\) пересекает ребро \(AB\); пусть \(P\) — точка их пересечения. Тогда грань \(ABC\) секущая плоскость пересекает по отрезку \(PE\).
Прямая \(AC\) принадлежит и плоскости грани \(ACC_1A_1\), поэтому точка \(D\) принадлежит этой плоскости, а точка \(C_1\) принадлежит ей как вершина этой грани. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(ACC_1A_1\) по прямой \(DC_1\). Прямая \(DC_1\) пересекает ребро \(AA_1\); пусть \(K\) — точка их пересечения. Тогда грань \(ACC_1A_1\) секущая плоскость пересекает по отрезку \(KC_1\).
Точки \(E\) и \(C_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости грани \(BCC_1B_1\), а точки \(P\) и \(K\) — для неё и плоскости грани \(ABB_1A_1\), поэтому эти грани она пересекает по отрезкам \(EC_1\) и \(KP\).
Отрезки \(PE\), \(EC_1\), \(C_1K\) и \(KP\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью призмы секущая плоскость не имеет, и четырёхугольник \(PEC_1K\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(PEC_1K\) — искомое сечение, где \(P\) — точка пересечения прямой \(DE\) с ребром \(AB\), а \(K\) — точка пересечения прямой \(DC_1\) с ребром \(AA_1\).
Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 3.32). Точка \(D\) принадлежит прямой \(AC\), точка \(E\) — ребру \(BC\). Постройте сечение призмы плоскостью \(DEC_1\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\); точка \(D\) лежит на прямой \(AC\), значит, \(D \in ABC\). Точка \(E\) лежит на ребре \(BC\), поэтому \(E \in ABC\).
Точки \(D\) и \(E\) являются общими для секущей плоскости \(DEC_1\) и плоскости \(ABC\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(DE\). Прямая \(DE\) пересекает ребро \(AB\); пусть \(P\) — точка их пересечения. Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(PE\).
Прямая \(AC\) принадлежит и плоскости грани \(ACC_1A_1\), поэтому точка \(D\) принадлежит этой плоскости; точка \(C_1\) принадлежит ей как вершина этой грани. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(ACC_1A_1\) по прямой \(DC_1\). Прямая \(DC_1\) пересекает ребро \(AA_1\); пусть \(K\) — точка их пересечения. Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ACC_1A_1\) по отрезку \(KC_1\).
Точки \(E\) и \(C_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости грани \(BCC_1B_1\), поэтому эту грань секущая плоскость пересекает по отрезку \(EC_1\).
Точки \(P\) и \(K\) являются общими для секущей плоскости и плоскости грани \(ABB_1A_1\), поэтому эту грань секущая плоскость пересекает по отрезку \(KP\).
Отрезки \(PE\), \(EC_1\), \(C_1K\) и \(KP\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью призмы секущая плоскость не имеет.
Значит, четырёхугольник \(PEC_1K\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(PEC_1K\) — искомое сечение, где \(P\) — точка пересечения прямой \(DE\) с ребром \(AB\), а \(K\) — точка пересечения прямой \(DC_1\) с ребром \(AA_1\).
