Страница 44 номер 4.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Конец \(A\) отрезка \(AB\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Через точку \(B\) и точку \(C\), принадлежащую отрезку \(AB\), проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. 1) Докажите, что точки \(A\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой. 2) Найдите отрезок \(BB_1\), если точка \(C\) — середина отрезка \(AB\) и \(CC_1 = 5\) см. 3) Найдите отрезок \(CC_1\), если \(AC : BC = 3 : 4\) и \(BB_1 = 28\) см.
1) Прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны, а через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\beta\).
Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(\beta\). Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), значит, \(BC\) и \(AB\) — одна и та же прямая, и \(A \in \beta\).
Прямая \(BB_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому ей не принадлежит, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны. Точки \(A\), \(B_1\) и \(C_1\) принадлежат обеим этим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки \(A\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
2)
Дано:
\(AC = CB\)
\(CC_1 = 5\) см
Найти: отрезок \(BB_1\).
Решение: Точки \(A\), \(C\), \(B\) и точки \(A\), \(C_1\), \(B_1\) лежат в плоскости \(\beta\) на двух прямых, проходящих через точку \(A\), поэтому \(C\) и \(C_1\) — точки сторон \(AB\) и \(AB_1\) треугольника \(ABB_1\).
Точка \(C\) — середина стороны \(AB\), а прямая \(CC_1\) параллельна стороне \(BB_1\), поэтому \(C_1\) — середина стороны \(AB_1\), а отрезок \(CC_1\) — средняя линия треугольника \(ABB_1\). Значит, \(BB_1 = 2 \cdot CC_1 = 2 \cdot 5 = 10\) (см).
3)
Дано:
\(AC : BC = 3 : 4\)
\(BB_1 = 28\) см
Найти: отрезок \(CC_1\).
Решение: Прямая \(CC_1\) параллельна прямой \(BB_1\), поэтому треугольники \(ACC_1\) и \(ABB_1\) подобны: угол \(A\) у них общий, а углы \(ACC_1\) и \(ABB_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CC_1\) и \(BB_1\) и секущей \(AB\). Из подобия треугольников \(\dfrac{CC_1}{BB_1} = \dfrac{AC}{AB}\).
Точка \(C\) лежит между \(A\) и \(B\), поэтому \(AB = AC + BC\), и из отношения \(AC : BC = 3 : 4\) получаем \(AC : AB = 3 : 7\).
Значит, \(\dfrac{CC_1}{28} = \dfrac{3}{7}\), откуда \(CC_1 = \dfrac{3 \cdot 28}{7} = 12\) (см).
Ответ: 2) \(BB_1 = 10\) см; 3) \(CC_1 = 12\) см.
Конец \(A\) отрезка \(AB\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Через точку \(B\) и точку \(C\), принадлежащую отрезку \(AB\), проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. 1) Докажите, что точки \(A\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой. 2) Найдите отрезок \(BB_1\), если точка \(C\) — середина отрезка \(AB\) и \(CC_1 = 5\) см. 3) Найдите отрезок \(CC_1\), если \(AC : BC = 3 : 4\) и \(BB_1 = 28\) см.
1) Точка \(B\) принадлежит прямой \(BB_1\), а точка \(C\) — прямой \(CC_1\); параллельные прямые общих точек не имеют, поэтому точки \(B\) и \(C\) различны, а \(BB_1\) и \(CC_1\) — две разные прямые.
Прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны, а через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна. Обозначим эту плоскость \(\beta\).
Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(\beta\). Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), значит, \(BC\) и \(AB\) — одна и та же прямая, и точка \(A\) ей принадлежит. Следовательно, \(A \in \beta\).
Прямая \(BB_1\) пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому она не принадлежит плоскости \(\alpha\), а плоскости \(\beta\) принадлежит. Значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны.
Точки \(A\), \(B_1\) и \(C_1\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\). Две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Следовательно, точки \(A\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
2)
Дано:
\(AC = CB\)
\(CC_1 = 5\) см
Найти: отрезок \(BB_1\).
Решение: Точки \(A\), \(C\), \(B\) и точки \(A\), \(C_1\), \(B_1\) лежат в плоскости \(\beta\) на двух прямых, проходящих через точку \(A\), поэтому \(C\) и \(C_1\) — точки сторон \(AB\) и \(AB_1\) треугольника \(ABB_1\).
Точка \(C\) — середина стороны \(AB\), а прямая \(CC_1\) параллельна стороне \(BB_1\). Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине, поэтому \(C_1\) — середина стороны \(AB_1\), а отрезок \(CC_1\) — средняя линия треугольника \(ABB_1\).
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, поэтому \(BB_1 = 2 \cdot CC_1 = 2 \cdot 5 = 10\) (см).
3)
Дано:
\(AC : BC = 3 : 4\)
\(BB_1 = 28\) см
Найти: отрезок \(CC_1\).
Решение: Прямая \(CC_1\) параллельна прямой \(BB_1\), поэтому треугольники \(ACC_1\) и \(ABB_1\) подобны: угол \(A\) у них общий, а углы \(ACC_1\) и \(ABB_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CC_1\) и \(BB_1\) и секущей \(AB\).
Из подобия треугольников \(\dfrac{CC_1}{BB_1} = \dfrac{AC}{AB}\).
Точка \(C\) лежит между \(A\) и \(B\), поэтому \(AB = AC + BC\). Из отношения \(AC : BC = 3 : 4\) получаем \(AC : AB = 3 : 7\).
Значит, \(\dfrac{CC_1}{28} = \dfrac{3}{7}\), откуда \(CC_1 = \dfrac{3 \cdot 28}{7} = 12\) (см).
Ответ: 2) \(BB_1 = 10\) см; 3) \(CC_1 = 12\) см.
