Страница 31 номер 3.36, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 3.54). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).
Точки \(A\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ADB\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AM\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(DB\) в точке \(P\). Аналогично прямая \(AK\) принадлежит плоскости \(ADC\); пусть она пересекает ребро \(DC\) в точке \(Q\).
Точки \(M\) и \(K\) лежат на прямых \(AP\) и \(AQ\), поэтому точки \(M\), \(K\), \(P\) и \(Q\) лежат в одной плоскости \(APQ\), а отмечены они так, что прямые \(MK\) и \(PQ\) пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Прямая \(MK\) принадлежит секущей плоскости \(MNK\), поэтому \(X \in MNK\). Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости \(BDC\) (\(P \in DB\), \(Q \in DC\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(PQ\) принадлежит плоскости \(BDC\), а значит, \(X \in BDC\).
Точка \(N\) принадлежит и секущей плоскости, и плоскости \(BDC\), значит, точки \(N\) и \(X\) являются общими для этих плоскостей, и они пересекаются по прямой \(NX\). Пусть прямая \(NX\) пересекает ребро \(DB\) в точке \(E\), а ребро \(BC\) — в точке \(F\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(BDC\) по отрезку \(EF\).
Точки \(E\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ADB\) и секущей плоскости; пусть прямая \(EM\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(H\), тогда секущая плоскость пересекает грань \(ADB\) по отрезку \(EH\). Так же точки \(H\) и \(K\) принадлежат плоскости \(ADC\) и секущей плоскости; пусть прямая \(HK\) пересекает ребро \(AC\) в точке \(G\), тогда секущая плоскость пересекает грань \(ADC\) по отрезку \(HG\). Точки \(G\) и \(F\) принадлежат плоскости \(ABC\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(GF\).
Значит, четырёхугольник \(EFGH\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(EFGH\) — искомое сечение.
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 3.54). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).
Точки \(A\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ADB\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AM\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(AM\) пересекает ребро \(DB\) в точке \(P\). Аналогично точки \(A\) и \(K\) принадлежат плоскости \(ADC\), прямая \(AK\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(DC\) в точке \(Q\).
Точка \(M\) лежит на прямой \(AP\), а точка \(K\) — на прямой \(AQ\), поэтому точки \(M\), \(K\), \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости \(APQ\). Прямые \(MK\) и \(PQ\) лежат в одной плоскости, значит, они или параллельны, или пересекаются. Точки \(M\), \(N\) и \(K\) отмечены так, что эти прямые пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Поскольку прямая \(MK\) принадлежит секущей плоскости \(MNK\), то \(X \in MNK\). Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости \(BDC\) (\(P \in DB\), \(Q \in DC\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(PQ\) принадлежит плоскости \(BDC\), а значит, \(X \in BDC\).
Точка \(N\) также принадлежит и секущей плоскости, и плоскости \(BDC\). Значит, точки \(N\) и \(X\) являются общими для этих плоскостей. Следовательно, секущая плоскость и плоскость \(BDC\) пересекаются по прямой \(NX\).
Пусть прямая \(NX\) пересекает ребро \(DB\) в точке \(E\), а ребро \(BC\) — в точке \(F\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BDC\) по отрезку \(EF\).
Точки \(E\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ADB\) и секущей плоскости. Пусть прямая \(EM\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(H\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(ADB\) по отрезку \(EH\).
Точки \(H\) и \(K\) принадлежат плоскости \(ADC\) и секущей плоскости. Пусть прямая \(HK\) пересекает ребро \(AC\) в точке \(G\); тогда секущая плоскость пересекает грань \(ADC\) по отрезку \(HG\). Точки \(G\) и \(F\) принадлежат плоскости \(ABC\) и секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(GF\).
Значит, четырёхугольник \(EFGH\) — искомое сечение.
Ответ: четырёхугольник \(EFGH\) — искомое сечение.
