Страница 32 номер 3.43, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через точку пересечения медиан треугольника \(ABC\) параллельно стороне \(AC\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите отношение площади треугольника \(EBF\) к площади треугольника \(ABC\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(O\) — точка пересечения медиан
\(EF \parallel AC\), \(O \in EF\)
\(E \in AB\), \(F \in BC\)
Найти: \(S_{EBF} : S_{ABC}\).
Решение: Пусть \(M\) — середина стороны \(AC\). Тогда \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), и точка \(O\) лежит на отрезке \(BM\). Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(BO = \dfrac{2}{3}BM\).
Треугольники \(BEO\) и \(BAM\) подобны: угол при вершине \(B\) у них общий, а \(\angle BEO = \angle BAM\) как соответственные углы при параллельных прямых \(EF\) и \(AC\) и секущей \(AB\). Отсюда \(\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BO}{BM} = \dfrac{2}{3}\).
Так же подобны треугольники \(EBF\) и \(ABC\), и коэффициент их подобия равен \(\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{2}{3}\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому \[\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.\]
Ответ: \(S_{EBF} : S_{ABC} = 4 : 9\).
Через точку пересечения медиан треугольника \(ABC\) параллельно стороне \(AC\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите отношение площади треугольника \(EBF\) к площади треугольника \(ABC\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(O\) — точка пересечения медиан
\(EF \parallel AC\), \(O \in EF\)
\(E \in AB\), \(F \in BC\)
Найти: \(S_{EBF} : S_{ABC}\).
Решение: Пусть \(M\) — середина стороны \(AC\). Тогда \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), и точка \(O\) лежит на отрезке \(BM\). Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(BO : OM = 2 : 1\) и \(BO = \dfrac{2}{3}BM\).
Точка \(O\) лежит на отрезке \(EF\), а прямая \(EF\) параллельна прямой \(AC\), поэтому треугольники \(BEO\) и \(BAM\) подобны: угол при вершине \(B\) у них общий, а \(\angle BEO = \angle BAM\) как соответственные углы при параллельных прямых \(EF\) и \(AC\) и секущей \(AB\). Отсюда \(\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BO}{BM} = \dfrac{2}{3}\).
Треугольники \(EBF\) и \(ABC\) также подобны: угол при вершине \(B\) общий, а \(\angle BEF = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых \(EF\) и \(AC\) и секущей \(AB\). Коэффициент подобия равен \(\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{2}{3}\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому \[\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.\]
Ответ: \(S_{EBF} : S_{ABC} = 4 : 9\).
