Страница 30 номер 3.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Отметьте на его рёбрах три точки так, чтобы сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки, было пятиугольником.
Отметим середины \(E\) и \(F\) рёбер \(AD\) и \(DC\), середину \(M\) ребра \(BB_1\) и построим сечение куба плоскостью \(EFM\).
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат и плоскости нижнего основания \(ABC\), и секущей плоскости \(EFM\), значит, по аксиоме А4 прямая \(EF\) принадлежит каждой из них, и секущая плоскость пересекает нижнее основание по отрезку \(EF\).
Прямые \(EF\), \(AB\) и \(BC\) лежат в плоскости \(ABC\). Пусть прямая \(EF\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(X\), а прямую \(BC\) — в точке \(Y\); точка \(X\) лежит на продолжении ребра \(AB\) за точку \(A\), а точка \(Y\) — на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\). Поскольку \(EF \subset EFM\), то \(X \in EFM\) и \(Y \in EFM\).
Точки \(X\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ABB_1\), значит, прямая \(XM\) принадлежит этой плоскости; пусть она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(P\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(PM\). Аналогично точки \(Y\) и \(M\) принадлежат плоскости \(BCC_1\); пусть прямая \(YM\) пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(Q\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(MQ\).
Осталось соединить точки \(Q\) и \(F\) (они лежат в грани \(CDD_1C_1\)) и точки \(P\) и \(E\) (они лежат в грани \(ADD_1A_1\)).
Значит, сечением куба плоскостью \(EFM\) является пятиугольник \(EFQMP\): его вершины лежат на пяти рёбрах куба \(AD\), \(DC\), \(CC_1\), \(BB_1\) и \(AA_1\), а остальные семь рёбер секущая плоскость не пересекает.
Ответ: годятся, например, середины рёбер \(AD\), \(DC\) и \(BB_1\): сечением куба плоскостью, проходящей через эти три точки, является пятиугольник.
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Отметьте на его рёбрах три точки так, чтобы сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки, было пятиугольником.
Отметим середины рёбер \(AD\) и \(DC\) — точки \(E\) и \(F\) — и середину ребра \(BB_1\) — точку \(M\). Построим сечение куба плоскостью \(EFM\) и убедимся, что оно является пятиугольником.
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат и плоскости нижнего основания \(ABC\), и секущей плоскости \(EFM\), значит, по аксиоме А4 прямая \(EF\) принадлежит каждой из этих плоскостей. Тогда секущая плоскость пересекает нижнее основание по отрезку \(EF\).
Прямые \(EF\), \(AB\) и \(BC\) лежат в плоскости \(ABC\). Пусть прямая \(EF\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(X\), а прямую \(BC\) — в точке \(Y\); точка \(X\) лежит на продолжении ребра \(AB\) за точку \(A\), а точка \(Y\) — на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\). Поскольку \(EF \subset EFM\), то \(X \in EFM\) и \(Y \in EFM\).
Точки \(X\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ABB_1\) (\(X \in AB\), \(M \in BB_1\)), значит, прямая \(XM\) принадлежит этой плоскости. Пусть прямая \(XM\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(P\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(PM\).
Аналогично точки \(Y\) и \(M\) принадлежат плоскости \(BCC_1\); пусть прямая \(YM\) пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(Q\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(MQ\).
Осталось соединить точки \(Q\) и \(F\) (они лежат в грани \(CDD_1C_1\)) и точки \(P\) и \(E\) (они лежат в грани \(ADD_1A_1\)).
Значит, сечением куба плоскостью \(EFM\) является пятиугольник \(EFQMP\). Его вершины лежат на пяти рёбрах куба: \(AD\), \(DC\), \(CC_1\), \(BB_1\) и \(AA_1\); остальные семь рёбер секущая плоскость не пересекает.
Ответ: годятся, например, середины рёбер \(AD\), \(DC\) и \(BB_1\): сечением куба плоскостью, проходящей через эти три точки, является пятиугольник.
